لکیری استحالہ

لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ $T(X)$ درج ذیل آزمائش پوری کرے (یہاں X اور Y ایک سمتیہ مکاں کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں اور a کوئی بھی عدد میدان $ℝ$ یا $ℂ$ میں )

• $T(aX)=aT(X)$
• $T(X+Y)=T(X)+T(Y)$

تو اسے لکیری استحالہ کہتے ہیں۔

میٹرکس ضرب

میٹرکس ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر X سمتیہ مکاں ${ℝ}^n$ کا رکن ہو اور A ایک $m\times n$ میٹرکس، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

Y = A X

جہاں Y سمتیہ فضا ${ℝ}^m$ میں ہو گا۔ مزید تفصیل کے لیے دیکھو میٹرکس تفاعل۔

میٹرکس ضرب صورت

کسی سمتیہ مکاں V میں سمتیہ v کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $v_0,v_1,...,v_{n-1}$ کے حوالے سے منفرد صورت کو ${ℝ}^n$ میں یوں لکھو: $c=\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_{n-1}\end{array}\right]$
اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا U ہے اور $T:V\to U$ ایک لکیری استحالہ ہے اور $u=T(v)$
اب سمتیہ مکاں U میں سمتیہ u کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_0,u_1,...,u_{m-1}$ کے حوالے سے منفرد صورت کو ${ℝ}^n$ میں یوں لکھو: $d=\left[\begin{array}{c}{d}_0\\ d_1\\ ⋮\\ d_{m-1}\end{array}\right]$
ہم صورت c اور d میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔
اب چونکہ $T(v_i)$ سمتیہ فضا U میں ہیں، اس لیے انھیں U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: $\begin{array}{c}T(v_0)=a_{0,0}{u}_0+a_{1,0}{u}_1+\cdots +a_{m-1,0}{u}_{m-1}\\ T(v_1)=a_{0,1}{u}_0+a_{1,1}{u}_1+\cdots +a_{m-1,0}{u}_{m-1}\\ ⋮\\ T(v_{n-1})=a_{0,m-1}{u}_0+a_{1,m-1}{u}_1+\cdots +a_{m-1,0}{u}_{m-1}\end{array}$
لکیری استحالہ $u=T(v)$
اب v کو سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے $\begin{array}{c}u=T(c_0{v}_0+c_1{v}_1+\cdots +c_{n-1}{v}_{n-1})\end{array}$
اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے ِ
$\begin{array}{c}u=c_{0}T(v_0)+c_{1}T(v_1)+\cdots +c_{n-1}T(v_{n-1})\\ u=c_0(a_{0,0}{u}_0+a_{1,0}{u}_1+\cdots +a_{m-1,0}{u}_{m-1})\\ +c_1(a_{0,1}{u}_0+a_{1,1}{u}_1+\cdots +a_{m-1,0}{u}_{m-1})\\ ⋮\\ +c_{n-1}(a_{0,m-1}{u}_0+a_{1,m-1}{u}_1+\cdots +a_{m-1,0}{u}_{m-1})\end{array}$
چونکہ u کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا $\begin{array}{c}u=d_0{u}_0+d_1{u}_1+\cdots +d_{m-1}{u}_{m-1}\end{array}$
اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ $\left[\begin{array}{c}{d}_0\\ d_1\\ ⋮\\ d_{m-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& \cdots & a_{0,n-1}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& \cdots & a_{1,n-1}\\ ⋮\\ a_{m-1,0}& a_{m-1,1}& \cdots & a_{m-1,n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_{n-1}\end{array}\right]$ اب اس $m\times n$ میٹرکس کو ہم A کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا U کے کسی سمتیہ u کی صورت d اور سمتیہ فضا V کے سمتیہ v کی صورت c کے درمیان رشتہ ایک میٹرکس ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

$d=Ac$

غور کرو کہ میٹرکس A دونوں سمتیہ فضا (V اور U) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{v_i\}$ اور $\{u_i\}$ پر منحصر ہے۔ میٹرکس A کی ہیئت پر غور کرو۔ میٹرکس A کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا V کے ایک بنیاد سمتیہ $v_i$ کو T کے ذریعہ U میں بھیجا جاتا ہے اور $T(v_i)$ کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{u_i\}$ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر $a_{.,.}$ حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

مثال 1

ایک لکیری استحالہ $T:{ℝ}^2\to subspace({ℝ}^3)$ فائل:Simtia planes 3 2.png جو یوں ہے $T\left(\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ -6x+17y\end{array}\right]$ اور جو سمتیہ فضا $V={ℝ}^2$ سے ${ℝ}^3$ کی ذیلی سمتیہ فضا U میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے پلین سے دکھایا گیا ہے۔ ${ℝ}^2$ میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی $v_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],v_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$
اور ${ℝ}^3$ کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -6\end{array}\right],u_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 11\end{array}\right]$
۔ اب V کے بنیاد سمتیہ کو T کے ذریعہ U میں بھیج کر U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں $T(v_0)=1u_0+0u_1$
$T(v_1)=-1u_0+1u_1$
جس سے ہم میٹرکس A پڑھ لیتے ہیں $A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right],$

مثال 2

درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو V کہو اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا U کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ $T:V\to U$ یہ ہے $T(p_1(x))=x{p}_1(x)$
یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو $p_1(x)$ لکھا ہے۔
فضا V میں بنیاد سمتیہ $v_0=1,v_1=x$
اور فضا U میں بنیاد سمتیہ $u_0=1,u_1=x,u_2=x^2$
اب V کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ T کے ذریعہ U میں لے جا کر، ان کو U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر $T(v_0)=x=0u_0+1u_1+0u_2$
$T(v_1)=x^2=0u_0+0u_1+1u_2$
میٹرکس A پڑھ لو $A=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$

مسلئہ اثباتی

ایک سمتیہ مکاں S پر لکیری استحالہ $T:S\to S$ ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{v_i\}$کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت میٹرکس A ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{u_i\}$ ہو اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت میٹرکس B ہو، تو دونوں میٹرکس میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے
$B=P^{-1}AP$
جہاں میٹرکس P مجموعہ $\{u_i\}$ سے مجموعہ $\{v_i\}$ لے جانی والی منتقلہ میٹرکس ہے۔ گویا A اور B مشابہ میٹرکس ہیں۔

مزید دیکھیے

• حیطہ استحالہ
• قطار اور ستون فضا
• عدیمہ فضا
• عجمہ استحالہ
• نسبی استحالہ