تبدیلی از بنیاد سمتیہ

اگر ایک سمتیہ مکاں کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ$\{v_0,v_1,...,v_{n-1}\}$ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{v_0,v_1,...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{u_0,u_1,...,u_{n-1}\}$ ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{u_0,u_1,...,u_{n-1}\}$ کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے ذریعہ ہو گی:
$c=Pd$
میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\{u_0,u_1,...,u_{n-1}\}$ کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ $\{v_0,v_1,...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہوں گے۔

میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔

مثال

${ℝ}^2$ میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ $e_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],e_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: $4e_0+2e_1$

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: $u_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],u_1=\left[\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right]$
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی $u_0=1e_0+1e_1,u_0=-4e_0+4e_1$
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: $P=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& 4\end{array}\right]$
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہوا ہے) $d=P^{-1}c={\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& 4\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -1/8& 1/8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1/4\end{array}\right]$
یعنی $3u_0-(1/4)u_1$

مسلئہ اثباتی

اگر کسی سمتیہ مکاں میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P ہو، تو

• میٹرکس کا اُلٹ، یعنی $P^{-1}$ ممکن ہے
• v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس $P^{-1}$ ہے۔