قطار اور ستون فضا

• تعریف: ایک میٹرکس کی قطاروں کو قطار سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو ${ℝ}^n$ سمتیہ مکاں میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر میٹرکس $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\end{array}\right]$ کے دو قطار سمتیہ، فضاء ${ℝ}^3$ میں یہ ہیں: $r_0=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\end{array}\right],$ $r_1=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\end{array}\right],$

• تعریف: ایک میٹرکس کے ستونوں کو ستون سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو ${ℝ}^n$ سمتیہ مکاں میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر میٹرکس A کے تین ستون سمتیہ، فضاء ${ℝ}^2$ میں یہ ہیں: $c_0=\left[\begin{array}{c}{a}_{0,0}\\ a_{1,0}\end{array}\right],$ $c_1=\left[\begin{array}{c}{a}_{0,1}\\ a_{1,1}\end{array}\right],$ $c_2=\left[\begin{array}{c}{a}_{0,2}\\ a_{1,2}\end{array}\right],$

قطار فضا

میٹرکس کے قطار سمتیوں کے لکیری جوڑ سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے قطار فضا کہتے ہیں۔ یعنی قطار سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے ${ℝ}^n$ کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ قطار فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری جوڑ
${\beta }_0{r}_0+{\beta }_1{r}_1,{\beta }_i\in ℝ$
سے پیدا ہونے والی ${ℝ}^3$ کی ذیلی فضا کو اس میٹرکس A کی قطار فضا کہیں گے۔

ستون فضا

میٹرکس کے ستون سمتیوں کے لکیری جوڑ سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے ستون فضا کہتے ہیں۔ یعنی ستون سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے ${ℝ}^n$ کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ ستون فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری جوڑ
${\beta }_0{c}_0+{\beta }_1{c}_1+{\beta }_2{c}_2,{\beta }_i\in ℝ$
سے عبور ہونے والی ${ℝ}^2$ کی ذیلی فضا کو اس میٹرکس A کی ستون فضا کہیں گے۔

بُعد فضا

کسی بھی میٹرکس کی قطار فضا اور ستون فضا کے بُعد فضا (dimension) برابر ہوتے ہیں۔ اور یہ بعد میٹرکس کا رتبہ کہلاتا ہے۔ غور کرو ک ایک $m\times n$ میٹرکس کا رتبہ $\min (m,n)$ کے برابر یا اس سے کم ہو گا۔

مثلئہ اثباتی

ایک میٹرکس A جس کے ستونوں کی تعداد n ہو، اس میٹرکس کے رتبہ (rank) اور میٹرکس کی "عدیمہ فضا کے بُعد" (nullity) کی جمع n ہو گی۔ یعنی

$\text{rank(A)}+\text{nullity(A)}=n$