عدیمہ فضا

ایک $m\times n$ میٹرکس $A$ کے ساتھ اس یکلخت لکیری مساوات کے نظام

$AX=0$

کے حل کی فضا کو میٹرکس A کی عدیمہ فضا کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے null space کہتے ہیں۔ عدیمہ کا لفظ عدیم الوجود سے بنا ہے۔ دوسرے لفظوں میں

$\text{Null }A=\{X:AX=\mathrm{𝟎}\}$

مثلئہ اثباتی

ایک میٹرکس A جس کے ستونوں کی تعداد n ہو، اس میٹرکس کے رتبہ (rank) اور میٹرکس کی "عدیمہ فضا کے بُعد" (nullity) کی جمع n ہو گی۔ یعنی

$\text{rank(A)}+\text{nullity(A)}=n$

مثال

میٹرکس $A=\left[\begin{array}{cccc}4& 2& 1& 3\\ 2& 1& 2& 6\\ 2& 1& 3& 9\\ -2& -1& 1& 3\end{array}\right]$
یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ اس میٹرکس کی عدیمہ فضا کے لیے درج ذیل ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ ہے $v_0=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\\ 0\end{array}\right],v_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\\ 1\end{array}\right]$
گویا اس میٹرکس کی عدیمہ فضا کا بُعد (ڈایمینشن) 2 ہے۔ اور یہ عدیمہ فضا، ${ℝ}^4$ کی ذیلی فضا ہے۔ اس میٹرکس کا رتبہ بھی 2 ہے۔ اوپر کے مسلئہ اثباتی کی اس سے تصدیق ہوتی ہے کہ "بُعد عدیمہ فضا" اور رتبے کی جمع، میٹرکس کے ستونوں کی تعداد کے برابر ہے۔

دوسرے الفاظ میں یکلخت لکیری مساوات کا نظام $AX=\mathrm{𝟎}$ کا حل یہ ہے (بنیاد سمتیہ کا لکیری جوڑ):

$X=\alpha v_0+\beta v_1;\alpha ,\beta \in ℝ$

عدیمہ لکیری استحالہ

تعریف: ایک لکیری استحالہ $T:V\to U$، جو سمتیہ فضا V کے سمتیہ کو سمتیہ فضا U کے سمتیہ میں لے جاتا ہے۔ فضا V کے ان سمتیوں کا مجموعہ جو اس استحالہ T کے ذریعہ صفر سمتیہ $\mathrm{𝟎}$ میں جائیں، کو لکیری استحالہ T کی عدیمہ فضا کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے T کا kernel یا null space کہتے ہیں۔ یہ عدیمہ فضا، سمتیہ فضا V کی سمتیہ ذیلی فضا ہوتی ہے۔