تفاوت

تھمب نیل بنانے کے دوران میں نقص:

تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" $\sigma$ ناپ ہے تصادفی متغیر کی اقدار (نیلا رنگ میں) کا اپنے اوسط $\mu$ کے گرد پھیلاؤ کا۔

تصادفی متغیر کا اپنی متوقع قدر سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو جانچنے کے لیے، تصادفی متغیر کا تَفاوُت استعمال ہوتا ہے۔ اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

$\mu =E(X)$

لکھا جائے، تو X کا تَفاوُت ${\sigma }^2$ یوں تعریف کیا جاتا ہے

${\sigma }^2=E((X-\mu {)}^2)$

یعنی ${\sigma }^2$ ہے تصادفی متغیر X کی اوسط $\mu$ سے دوری $x-\mu$ کے مربع $(x-\mu {)}^2$ کی اوسط۔ واپس X کی اکائی میں آنے کے لیے ہم ${\sigma }^2$ کا مربع جزر لے کر معیاری انحراف $\sigma$ حاصل کرتے ہیں۔

غور کرو کہ تفاوت ${\sigma }^2$ کو یوں لکھ سکتے ہیں

${\sigma }^2=E((X-\mu {)}^2)=E(X^2)-{\mu }^2$

جہاں متفرد تصادفی متغیر کے لیے $E(X^2)=\sum _i{x}_i^2{p}_X(x_i)$ غور کرو کہ $E(X^2)$ متغیر $x^2$کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ $p_X(.)$ سے کیا گیا ہے۔ متفرد تصادفی متغیر X کی "احتمال کمیت تفاعل" $p_X(x)$ اس متغیر کی قدر x ہونے کے احتمال کو کہتے ہیں اور یوں تعریف کرتے ہیں:

$p_X(x_i)=\mathrm{Pr}(X=x_i)$

اس تَفاوُت (variance) کے مربع جزر کو تصادفی متغیر کا معیاری انحراف کہا جاتا ہے، جو یہ بتاتا ہے کہ تصادفی متغیر کی ممکنہ اقدار کا اپنی متوقع قدر کے گرد پھیلاؤ کتنا سمجھا جا سکتا ہے۔ معیاری انحراف (standard deviation)

$\text{std. dev.}(X)=\sqrt{\text{var}(X)}$

فائل:Binomial distribution pmf.png

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت تفاعل $p_X(.)$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت (variance)

$\text{var}(X)=np(1-p)$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت $\text{var}(X)=np(1-p)=40\times 0.5\times (1-.5)=10$ اور معیاری انحراف (standard deviation) $\text{std. dev. (X)}=10^{\frac{1}{2}}\approx 3.16$

مزید دیکھیے

• متوقع قدر
• چیبی شَو نامساوات
• کثیر اعداد کا قانون