دو رقمی مسئلہ اثباتی

سانچہ:اصطلاح برابر دو رقمی مسلئہ اثباتی، دو رقمی $a + b$ کی طاقت $(a + b)^{n}$ ، جہاں n غیر منفی صحیح عدد ہے، کے پھیلاؤ کا کلیہ دیتا ہے

(a + b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + \dots + (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r} + \dots + (\binom{n}{n}) b^{n}

جہاں

(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

اور ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔ اس پھیلاؤ کو $\sum$ کی علامت استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں

(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}

$(\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}$ کو دو رقمی مسلئہ اثباتی کی عام رقم کہتے ہیں۔

n کی کچھ قدروں کے لیے پھیلاؤ جدول میں دیا ہے۔ غور کرو کہ $a^{n - r} b^{r}$ کے عددی سر خیام تکون سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔

خیام تکون
n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0	$(a + b)^{0} = 1$
n=1	$(a + b)^{1} = a + b$
n=2	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
n=3	$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
n=4	$(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
n=5	$(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$
n=6	$(a + b)^{6} = a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$

ثبوت

n دو رقمی $(a + b)$ کو آپس میں ضرب دینے سے $(a + b)^{n}$ حاصل ہوتا ہے

(a + b)^{n} = (a + b) (a + b) \dots (a + b)

پھیلاؤ کی کسی رقم کے لیے ہم ہر دو رقمی سے ہم یا a یا b چنتے ہیں۔ اگر ہم صفر b چنیں تو ایسا کرنے کے $(\binom{n}{0}) = 1$ راستے ہیں (دیکھو تولیف) اور یہ $a^{n} b^{0}$ کا عددی سر بنتا ہے۔ اگر r دفعہ b چنیں تو ایسا کرنے کے $(\binom{n}{r})$ راستے ہیں اور یہ $a^{n - r} b^{r}$ کا عددی سر بنتا ہے۔

کلیہ جات

اس مسلئہ اثباتی سے مختلف مفید کلیہ جات اخذ کیے جا سکتے ہیں:

اگر $a = 1, b = 1$ ہو تو کلیہ حاصل ہوتا ہے

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}

اگر $a = 1, b = - 1$ ہو تو تو کلیہ حاصل ہوتا ہے

\sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) = 0

مزید دیکھیے

حوالہ جات

سانچہ:حوالہ جات سانچہ:ریاضی مدد سانچہ:انگریزی عنوان سانچہ:زمرہ کومنز

دو رقمی مسئلہ اثباتی

فہرست

ثبوت

کلیہ جات

مزید دیکھیے

حوالہ جات

ویکی پیمائی کی فہرست

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

دو رقمی مسئلہ اثباتی

ثبوت

کلیہ جات

مزید دیکھیے

حوالہ جات

ویکی پیمائی کی فہرست

تلاش

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...