رتبہ میٹرکس

• Rank of a matrix

میٹرکس کا رتبہ اس میں باہمی لکیری آزاد قطاروں کی تعداد یا اس میں باہمی لکیری آزاد ستونوں کی تعداد کو کہتے ہیں۔ ایک میٹرکس کا زیادہ سے زیادہ رُتبہ اس کی قطاروں کی تعداد یا ستونوں کی تعداد، (جو تعداد کم ہو) کے برابر ہو سکتا ہے۔ مزید تفصیل۔

مسلئہ اثباتی

ایک $n\times n$ مربع میٹرکس A کے لیے نیچے دی گئے بیان ایک دوسرے کے ہم معٰنی ہیں:

• اس میٹرکس کو اُلٹانا ممکن ہے۔
• اس میٹرکس کا رتبہ (پورا) n ہے۔
• اس میٹرکس کے تمام ستون باہمی لکیری آزاد ہیں اور تمام قطاریں باہمی لکیری آزاد ہیں۔
• ایک متغیر $n\times 1$ میٹرکس X ہو، تو $AX=0$ اگر بشرط اگر $X=0$
• اس میٹرکس کا دترمینان صفر نہیں: $\det (A)\ne 0$

• یہاں یہ بیان کرنا ضروری ہے کہ اگر اس میٹرکس کا دترمینان بہت چھوٹا عدد ہو، تو میٹرکس کو الٹانا مشکل ہوتا ہے۔ یہ جاننے کے لیے میٹرکس کا کنڈیشن نمبر (condition number) نکالنا مفید رہتا ہے۔

• یاد رہے کہ عام طور پر مساوات $AX=0$ سے یہ نتیجہ اخذ نہیں کیا جا سکتا کہ $X=0$ (اس کے لیے مسلئہ اثباتی کی رو سے مربع میٹرکس A کا رتبہ پورا n ہونا ضروری ہے۔)

مزید دیکھیے

• سائیلیب help rank