لکیری آزادی

ایک متغیر $t$کے دالہ کو ہم $f(t)$ لکھتے ہیں۔ اگر ایسے دائم اعداد $a,b$ ہوں، جن کی مدد سے فنکشن $f(t)$ کو دوسرے فنکشن $g(t),h(t)$ کے لکیری (راست) تولیف کے طور پر لکھا جا سکے

$f(t)=ag(t)+bh(t)$

تو فنکشن $f(t)$ کو باقی فنکشن $g(t),h(t)$ پر لکیری منحصر (آزاد نہیں) کہا جاتا ہے۔ اگر فنکشن $f(t)$ کو اس صورت میں نہ لکھا جا سکے، تو فنکشن $f(t)$ کو باقی فنکشن $g(t),h(t)$ سے "لکیری آزاد" کہا جائے گا۔

اگر فنکشن $\{f_n(t)\},n=0,1,\cdots$ میں سے کسی بھی فنکشن کو باقی ماندہ فنکشن کے راست تولیف (جوڑ) کے طور پر نہ لکھا جا سکتا ہو، تو ان فنکشن کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

سمتیہ کی لکیری آزادی

سمتیہ مجموعہ $v_0,v_1,...,v_{n-1}$ کے خطی اجتماع کی اس مساوات

${\alpha }_0{v}_0+{\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_{n-1}{v}_{n-1}=\mathrm{𝟎}$

کا ایک حل یہ ہے

${\alpha }_0=0,{\alpha }_1=0,...,{\alpha }_{n-1}=0$

اگر یہی واحد ممکن حل ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد کہلائے گا۔ اگر اس کے علاوہ بھی کوئی حل ممکن ہو تو سمتیہ مجموعہ لکیری غیر آزاد ہو گا۔ غیر آزادی کی صورت میں ان میں سے کسی بھی سمتیہ کو باقی ماندہ سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر لکھنا ممکن ہو جائے گا۔

میٹرکس کی قطاریں اور ستون

یہی اصول کسی میٹرکس کی قطاروں (اور ستونوں) پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ اگر کسی میڑکس کی کوئی قطار باقی ماندہ قطاروں کے لکیری تولیف پر لکھی جا سکے تو یہ قطار باقی قطاروں پر لکیری منحصر ہو گی (بدیگر "لکیری آزاد" کہلائے گی)۔ اگر کسی میٹرکس کی کوئی بھی قطار باقی ماندہ قطاروں سے لکیری تولیف کے ذریعہ حاصل نہ کی جا سکتی ہو، تو قطاروں کو باہمی لکیری آزاد کہا جائے گا۔

میٹرکس A کے تمام ستونوں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے لازمی ہے کہ مساوات $AX=0$ کا واحد ممکن حل $X=0$ ہو۔ یعنی

$AX=\mathrm{𝟎}\Rightarrow X=\mathrm{𝟎}$

اگر صفر سمتیہ کے علاوہ بھی کوئی حل ہو، تو ستون باہمی لکیری آزاد نہیں ہوں گے۔ اسی طرح میٹرکس کی تمام قطاروں کے باہمی لکیری آزاد ہونے کے لیے ضروری ہے کہ

$A^{t}Y=\mathrm{𝟎}\Rightarrow Y=\mathrm{𝟎}$

جہاں $A^t$ میٹرکس $A$ کے پلٹ کو ظاہر کرتا ہے۔

مزید دیکھیے

• میٹرکس
• قطار اور ستون فضا
• سائیلیب

بیرونی ربط

• سافٹوئیر سائیلیب کے حوالے سے راست الجبرا کا ایک سبق ۔حٹم‌ل