کیلے ہمیلٹن مسئلہ اثباتی

• Cayley-Hamilton theorem

اگر $p(\lambda )$ مربع میٹرکس $A$ کا "ویژہ کثیر رقمی" ہے، تو $n\times n$ میٹرکس $A$ کی ویژہ قیمت $\lambda$ کے لیے، "ویژہ کثیر رقمی" کی تعریف کی رُو سے

$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0$

اس مسئلہ اثباتی کے مطابق مربع میٹرکس خود اپنے کثیر رقمی کی تسکین کرتی ہے:

$p(A)=0$

$a_n{A}^n+a_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_0{I}_n=0$

مثال

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 3\\ 2& 4-\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-5\lambda -2$

$A^2=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 15\\ 10& 22\end{array}\right]$

$5A=\left[\begin{array}{cc}5& 15\\ 10& 20\end{array}\right]$

$2I_2=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

$A^2-5A-2I_2=0$

اس مسئلہ اثباتی کی مدد سے میٹرکس شمارنگی میں آسانی پیدا کی جا سکتی ہے، مثلاً چونکہ $A^2=5A+2I_2$ اس لیے $A^4=A^2{A}^2=(5A+2I_2{)}^2=25A^2+4I_2+10A=25(5A+2I_2)+10A+4I_2=135A+54I_2$

مزید دیکھیے

• میٹرکس فنکشن