دالہ مصفوفہ

یہاں ہم ایسی دالہ کا بیان کریں گے، جس فنکشن کا میدان عمل مختلط میدان ${ℂ}^n\times {ℂ}^n$ پر مربع میٹرکس ہو اور حیطہ بھی ${ℂ}^n\times {ℂ}^n$ پر مربع میٹرکس ہو۔

ایک مختلط متغیر $z$ کی تحلیلی (analytic) فنکشن $f(z)$، $z$ کے گرد ٹیلر سلسلہ (Taylor series) کے ذریعہ لکھی جا سکتی ہے:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k,z\in ℂ$

اوپر کی سیریز کی تقل کرتے ہوئے ایک مربع میٹرکس A کے لیے یہی فنکشن یوں لکھا جا سکتا ہے

$f(A)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{A}^k,A\in {ℂ}^n\times {ℂ}^n$

اب ہم اس میٹرکس فنکشن کو میٹرکس کی ویژہ قیمت کی مدد سے نکالنے کا ایک آسان طریقہ بتاتے ہیں۔

جیسا کہ یہاں بیان ہوا کہ اگر ایک $n\times n$ مربع میٹرکس A کی تمام ویژہ قیمتیں (اصل یا مختلط عدد) ${\lambda }_0,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_{n-1}$ منفرد ہوں، تو ایسی "ویژہ سمتیہ" پر مشتمل میٹرکس $U$ نکالی جا سکتی ہے، جس کی مدد سے میٹرکس $A$ کو ویژہ وتر میٹرکس کے ساتھ رشتہ اس مساوات سے بیان کیا جا سکتا ہے:

$A=U\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_0& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_{n-1}\end{array}\right]U^{-1}$

اب

$f(A)=U\left[\begin{array}{cccc}f({\lambda }_0)& 0& \cdots & 0\\ 0& f({\lambda }_1)& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & f({\lambda }_{n-1})\end{array}\right]U^{-1}$

اوپر دیے طریقہ سے میٹرکس کی پڑھائی میں ویژہ قیمت کی اہمیت کا اندازہ ہوتا ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مربع میٹرکس $f(A)$ کے ویزہ سمتیہ وہی ہیں جو مربع میٹرکس $A$ کے ویزہ سمتیہ ہیں۔ اور اگر میٹرکس $A$ کی ویژہ قیمت $\lambda$ ہے تو میٹرکس $f(A)$ کی ویژہ قیمت $f(\lambda )$ ہے۔

مثال

• میٹرکس اَسّی دالہ

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& -1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}^{-1}$

$\exp (A)=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\exp (7)& 0\\ 0& \exp (-1)\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}548.50& 548.13\\ 548.13& 548.50\end{array}\right]$

• میٹرکس اُلٹ

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/7& 0\\ 0& 1/-1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-0.429& 0.571\\ 0.571& -0.429\end{array}\right]$

مزید دیکھیے

• "کیلے ہمیلٹن" مسئلہ اثباتی
• سائیلیب help expm, cosm, sinm, spec