مصفوفہ کی قطبی ہئیت

اگر A مربع غیر-اکیلوی مصفوفہ ہو، تو اسے ایک ایکاوی مصفوفہ U اور ہرمشن غیر منفی بالکل قالب H کے حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے

$A=HU$

س کے علاوہ یہ معلوم مسئلہ ہے کہ اگر H غیر منفی بالکل ہرمشن قالب ہو، تو ایسی ہرمشن قالب X وجود رکھتی ہے کہ $H=\exp (X)$ ہو۔ اس طرح قالب A کو یوں لکھا جا سکتا ہے

$A=\exp (X)U$

جو قالب A کی قطبی ہیئت کہلاتا ہے اور یہ ہیئت منفرد ہے۔ یہاں مخلوط عدد z کی قطبی صورت $r\exp (i\theta )$ سے مماثلت ہے:

$z=r\exp (i\theta )$

اس ہیئت میں $\exp (X)$ قالب A کا مطلقہ ہے (جو r کے مماثل ہے) اور U اس کا گھماؤ ہے (جو $\exp (i\theta )$ کے مماثل ہے)۔

اس کو یوں سمجھا حا سکتا ہے۔ ایکاوی مصفوفہ U کے ذریعہ A کو ترچھی بنایا جا سکتا ہے، یعنی

$U^{†}AU=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_0& 0& 0& ...\\ 0& {\alpha }_1& 0& ...\\ 0& 0& {\alpha }_2& ...\\ ...& ...& ...\end{array}\right]=\text{diag}({\alpha }_k)$

اب مخلوط عدد ${\alpha }_k$ کو قطبی صورت یوں ${\alpha }_k=r_k\exp (i{\theta }_k)$ لکھا جا سکتا ہے جہاں $r_k>0,{\theta }_k\in ℝ$ ہیں۔ اس لیے

$\text{diag}({\alpha }_k)=\text{diag}(r_k)\text{diag}(e^{i{\theta }_k})$

اور ہم لکھ سکتے ہیں

$A=U\text{diag}(r_k)U^{†}U\text{diag}(e^{i{\theta }_k})U^{†}$

خیال رہے کہ کسی ایکوی قالب U کے لیے ہمیشہ $U{U}^{†}=1$ ہوتا ہے۔

اب یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ قالب $U\text{diag}(r_k)U^{†}$ غیر منفی بالکل ہرمشن ہے اور قالب $U\text{diag}(e^{i{\theta }_k})U^{†}$ ایکاوی ہے۔