فرق مساوات

سانچہ:اصطلاح برابر اگر کسی متوالیہ $\{y_n\}$ کا رکن $y_n$ دوسرے اراکین کے دالہ کے طور پر مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہو، تو اس مساوات کو فرق مساوات کہتے ہیں۔

لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

پہلے درجے کی لکیری فرق مساوات کی ہیئت یوں ہوتی ہے

‎$y_n=\alpha y_{n-1}+b$

‎جہاں $\alpha ,b$ دائم اعداد ہیں۔ وجہ تسمیہ دیکھنے کے لیے مساوات کو یوں لکھتے ہیں

‎$y_n-y_{n-1}=\beta y_{n-1}+b,\beta =(\alpha -1)$‎

یعنی متوالیہ کے دو یکے بعد دیگرے ارکان کا فرق، پہلے رکن کے نسبی جوڑ کے طور پر منحصر ہے۔ اس مساوات کا حل دیکھنے کے لیے متوالیہ کے کچھ ارکان لکھتے ہیں، یہ سمجھتے ہوئے کہ $y_0$ ہمیں معلوم ہے:

‎$\begin{array}{c}{y}_1=\alpha y_0+b\\ y_2=\alpha y_1+b=\alpha (\alpha y_0+b)+b={\alpha }^2{y}_0+\alpha b+b\\ y_3=\alpha y_2+b=\alpha ({\alpha }^2{y}_0+\alpha b+b)+b={\alpha }^3{y}_0+{\alpha }^{2}b+\alpha b+b\\ \cdots \\ y_n={\alpha }^n{y}_0+(1+\alpha +\cdots +{\alpha }^{n-1})b\end{array}$‎

آخری متوالیہ کی جمع جانتے ہوئے، مساوات کا حل یوں:

$y_n={\alpha }^n{y}_0+\frac{(1-{\alpha }^n)}{1-\alpha }b,\alpha \ne 0,n=0,1,2,3,\cdots$

اس سے واضح ہے کہ ‎$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\{\begin{array}{cc}\frac{b}{1-\alpha },& |\alpha |<1\\ \mathrm{\infty },& |\alpha |\ge 1\end{array}$

‎

مثال

فرض کرو کہ چائے کی گرم پیالی میز پر رکھی ہے۔ کمرے کا درجہ حرارت $R=20^{\circ }C$ ہے اور چائے کا درجہ حرارت $y_n$ ہے، منٹ $n$ پر۔ علم حرارت کے قانون کے مطابق چائے کا درجہ حرارت اس فرق مساوات کے زیر ہے

‎$y_n-y_{n-1}=k(y_{n-1}-R)$‎

فرض کرو کہ وقت صفر پر چائے کا درجہ حرارت $80^{\circ }C$ تھا، یعنی $y_0=80$۔ ایک منٹ بعد درجہ حرارت $70^{\circ }C$ نوٹ کیا گیا، یعنی $y_1=70$ ۔ اس طرح ہمیں دائم k کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے: $70-80=k(80-20)\Rightarrow k=-1/6$ درجہ حرارت کی مساوات کو معیاری ہیئت میں یوں لکھا جا سکتا ہے: ‎$y_n=(1+k)y_{n-1}-kR$ فائل:Diff plot.png
‎ اور اس کا حل کچھ سادگی کے بعد: ‎$y_n=60(\alpha {)}^n+20,\alpha =\frac{5}{6},n=0,1,2,3,\cdots$‎

چائے کا درجہ حرارت $y_0=80$ ڈگری سے گرتا ہوا $y_{\mathrm{\infty }}=20$ ڈگری تک جاتا ہے، چونکہ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(5/6{)}^n=0$۔ پلاٹ سے معلوم ہوتا ہے کہ تقریباً $4\tau =24$ منٹ میں چائے ٹھنڈی ہو کر کمرے کے درجہ حرارت کے قریب پہنچ جاتی ہے، جہاں $\tau =\frac{1}{|1-|\alpha ||}$ فرق مساوات کا وقتی دائم کہلاتا ہے۔

پہلے درجے کی اس مساوات ‎$y_n=\alpha y_{n-1}+b$‎ کو n کی منفی جانب بھی بڑھایا جا سکتا ہے، جس کے لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھتے ہیں: $y_{n-1}={\alpha }^{-1}b-{\alpha }^{-1}{y}_n$ اوپر والے طریقے سے اس کا حل یہ نکل آتا ہے: $y_{-n}=-{\alpha }^{-n}{y}_0+{\alpha }^{-1}b\frac{1-{\alpha }^{-n}}{1-{\alpha }^{-1}},\alpha \ne 0,n=1,2,\cdots$

اس بار یہ واضح ہے کہ: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_{-n}=\{\begin{array}{cc}\frac{{\alpha }^{-1}b}{1-{\alpha }^{-1}},& |\alpha |>1\\ \mathrm{\infty },& |\alpha |\le 1\end{array}$

پہلی درجہ کی فرق مساوات کی زیادہ عام ہیئت یوں لکھی جا سکتی ہے، جہاں $\{u_n\}$ کوئی بھی دیا گیا متوالیہ ہو سکتا ہے:

$y_n=\alpha y_{n-1}+u_n$

جس کا حل بھی اوپر دیے طریقے سے نکالا جا سکتا ہے۔ غور کرو کہ اوپر کی بحث میں$u_n=b$ ایک دائم تھا۔

مثال

فرق مساوات جس کو ایک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہا ہے:

$y_n=\alpha y_{n-1}+\exp (\iota 2\pi \nu n)$

اگرچہ اس مساوات کا حل ہم اوپر دیے گئے طریقے سے نکال سکتے ہیں، مگر یہاں ہم حل کی ایک ہیئت تجویز کرتے ہیں، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہمیں $y_n=\alpha y_{n-1}+b$ کا حل معلوم ہے اور ارتعاش ایک کمپلکس سائنوسایڈ ہے۔ تجویز کردہ حل کی ہیئت یوں ہے، جہاں A اور B نامعلوم دائم ہیں:

$y_n=A{\alpha }^n+B\exp (\iota 2\pi \nu n)$

اب یہ سمجھتے ہوئے کہ n=0 پر ہمیں $y_0$ معلوم ہے، اس میں ڈال دیتے ہیں اور A اور B میں ایک رشتہ معلوم کر لیتے ہیں: $y_0=A{\alpha }^0+B\exp (\iota 2\pi \nu 0)\Rightarrow y_0=A+B$

اب چونکہ حل کو مساوات کی تسکین کرنی ہے، اس لیے:

$(y_0-B){\alpha }^n+B\exp (\iota 2\pi \nu n)=\alpha ((y_0-B){\alpha }^{n-1}+B\exp (\iota 2\pi \nu (n-1)))+\exp (\iota 2\pi \nu n)$ جس سے ہمیں نامعلوم B کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے:

$\Rightarrow B=\frac{1}{1-\alpha \exp (-\iota 2\pi \nu )}$ اور اب مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: $y_n={\alpha }^n{y}_0-\frac{1}{1-\alpha \exp (-\iota 2\pi \nu )}{\alpha }^n+\frac{1}{1-\alpha \exp (-\iota 2\pi \nu )}\exp (\iota 2\pi \nu n)$

فائل:First diff eqn sinusoid.png

اس حل کو ہم $\alpha =0.9,\nu =0.04,y_0=0$ کے لیے ہم پلاٹ کر سکتے ہیں۔ پلاٹ میں نیلے رنگ میں سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا ہے، جبکہ$\mathrm{\Re }(y_n)$ سرخ رنگ میں ہے۔ دیکھو کہ تقریباً $4\tau =40$ کے بعد $y_n$ خود بھی ایک عام سائنوسائڈ بن جاتا ہے (جہاں وقتی دائم $\tau =\frac{1}{|1-|\alpha ||}$) ۔

درجہ N کی لکیری فرق مساوات

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی ہیئت یہ ہے:
${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}+\cdots +{\alpha }_N{y}_{n-N}=0$

لکیری مساوات کہنے کی وجہ یہ ہے کہ اس مساوات کے اگر دو حل $\{y_n^{(1)}\}$ اور $\{y_n^{(2)}\}$ ہوں، تو ان حل کا لکیری جوڑ (مثلاً $\{y_n^{(1)}+y_n^{(2)}\}$ ) بھی اس مساوات کا حل ہو گا۔ درجہ N کی مساوات کے N آزاد حل ہوں گے جو اس مساوات کے حل ہوں گے- مساوات کا عام حل ان N حلوں کا لکیری جوڑ ہو گا۔

درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات

دوسرے درجہ کی فرق مساوات ${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}=0$
اس کے ایک حل کی ہیئت یہ تصور کرتے ہوئے، $y_n^{(1)}=A{\lambda }^n$ جہاں A ایک دائم ہے، یہ حل ہم مساوات میں ڈال دیتے ہیں: $\begin{array}{cc}{\alpha }_{0}A{\lambda }^n+{\alpha }_{1}A{\lambda }^{n-1}+{\alpha }_{2}A{\lambda }^{n-2}=& 0\\ A{\lambda }^{n-2}({\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2)=& 0\\ {\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2=& 0\end{array}$

اُپر کی مساوات سے $\lambda$ کا حل یوں نکل آتا ہے ${\lambda }_0,{\lambda }_1=\frac{-{\alpha }_1\pm \sqrt{{\alpha }_1^2-4{\alpha }_0{\alpha }_2}}{2{\alpha }_0}$ جس سے ہمیں فرق مساوات کے دو حل بنا سکتے ہیں۔ فرق مساوات کا عام حل ان دو کے لکیری جوڑ سے یوں بنتا ہے:
$y_n=A_0{\lambda }_0^n+A_1{\lambda }_1^n$
جہاں $A_0,A_1$ دو دائم ہیں، جن کی قیمت ہم معلوم کر سکتے ہیں، اگر ہمیں ابتدائی $y_0,y_1$ معلوم ہوں، نیچے دی مساوات کو حل کر کے :

$\begin{array}{c}{y}_0=A_0{\lambda }_0^0+A_1{\lambda }_1^0\\ y_1=A_0{\lambda }_0^1+A_1{\lambda }_1^1\end{array}$

اگر ${\lambda }_0={\lambda }_1$ (یعنی ${\alpha }_1^2-4{\alpha }_0{\alpha }_2=0$) تو فرق مساوات کا حل یوں لکھا جائے گا:

$y_n=A_0{\lambda }_0^n+A_{1}n{\lambda }_0^n$

مثال

فرض کرو کہ درجہ دوم کی مساوات کے عددی سر یوں ہیں ${\alpha }_0=1,{\alpha }_1=-1.96,{\alpha }_2=0.98$
تو اس مساوات کے جزر نکالنے ہیں: ${\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2=0$
جو مخلوط عدد ہیں $\lambda ,\overline{\lambda }=0.98\pm \iota 0.14=0.99\exp (\pm \iota 0.142)$
اب دوسرے درجے کی فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے
$y_n=A_0{\lambda }^n+A_1{\overline{\lambda }}^n$
جہاں دائم $A_1,A_0$ ابتدائی حالت سے نکالے جائینگے۔ فائل:Diff2 eq u.png
فرض کرو کہ ابتدائی حالت یہ ہے: $y_0=0,y_{-1}=-1$ یوں سمجھو کہ یہ مساوات دو ستونوں کے درمیان سختی سے بندھی ہوئی ایک لوہے کی تار کی حالت بیان کر رہی ہے۔ تار کو وقت "منفی ایک" پر کھینچ کر چھوڑ دیا جاتا ہے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش میں رہ کر اپنی اصل حالت پر واپس آ جاتی ہے۔
ابتدائی حالت کو استعمال کرتے ہوئے دائم نکالتے ہیں: $y_0=0=A_0{\lambda }^0+A_1{\overline{\lambda }}^0$ جس سے پتہ چلتا ہے کہ $A_1=-A_0$ اور $\begin{array}{c}{y}_{-1}=-1=A_0{\lambda }^{-1}-A_0{\overline{\lambda }}^{-1}\\ ⟶A_0=\frac{\lambda \overline{\lambda }}{\lambda -\overline{\lambda }}=\frac{7}{\iota 2}\end{array}$
اب فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: $\begin{array}{c}{y}_n=\frac{7}{2\iota }(0.99{)}^n(\exp (\iota 0.142n)-\exp (-\iota 0.142n))\\ y_n=7(0.99{)}^n\sin (0.142n)\end{array}$
پلاٹ میں غور کرو کہ تقریبا $4\tau =400$ وقت کے بعد سائینوسایڈ (مساوات کا حل ) تقریباً صفر ہو جاتا ہے، جہاں وقتی دائم $\tau =\frac{1}{|1-|\lambda ||}$

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی زیادہ عام ہیئت یہ ہے: ${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}+\cdots +{\alpha }_N{y}_{n-N}=u_n$
اس مساوات کو بیرونی ارتعاش $u_n$ چلا رہا ہے۔ اس مساوات کے حل میں اوپر کے N حلوں کے علاوہ ایک رقم جو $u_n$ پر منحصر ہو گی، جمع کی جائے گی۔

میٹرکس صورت

اس درجہ N کی لکیری فرق مساوات کو ہم ایک میٹرکس مساوات کی صورت لکھیں گے۔ اس کے لیے ہم ایک ستون میٹرکس $Y_n=\left[\begin{array}{c}{y}_{n-N+1}\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right]$

بناتے ہیں۔ اب $Y_n$ اور $Y_{n-1}$ پر غور کرتے ہوئے، درجہ N کی فرق مساوات کو پہلے درجہ کی میٹرکس مساوات کی صورت یوں ڈھالا جا سکتا ہے: $\left[\begin{array}{c}{y}_{n-N+1}\\ ⋮\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& 0& 1& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& & & 1\\ \frac{-{\alpha }_N}{{\alpha }_0}& \frac{-{\alpha }_{N-1}}{{\alpha }_0}& \cdots & \cdots & \frac{-{\alpha }_1}{{\alpha }_0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_{n-N}\\ y_{n-N+1}\\ ⋮\\ ⋮\\ y_{n-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ u_n\end{array}\right]$
یا

$Y_n=A{Y}_{n-1}+U_n$

جہاں $A$ سائیز $N\times N$ کی مربع میٹرکس ہے۔ اب اس میٹرکس مساوات سے $Y_n$ متوالیہ سائیلیب میں بآسانی نکالا جا سکتا ہے۔ ستون میٹرکس $Y_n$ کا کوئی بھی جُز اصل فرق مساوات کا حل ہے۔ پہلے درجہ کی میٹرکس فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: $Y_n=A^n{Y}_0+\sum _{k=0}^{n-1}{A}^k{U}_k,n=0,1,2,\cdots$

ویژہ قیمت

اوپر دی درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات کی مثال ${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}=0$
کو میٹرکس صورت لکھو، تو میٹرکس یہ ہو گی: $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_0}& -\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_0}\end{array}\right]$ اب اگر اس میٹرکس کی ویژہ قیمت نکالی جائے $\det (A-\lambda I)=0$ تو وہی مساوات مل جاتی ہے ${\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2=0$ اس سے معلوم ہوتا ہے کہ فرق مساوات کے حل پر اس میٹرکس (یا فرق مساوات) کی ویژہ قیمتوں کا راج ہوتا ہے۔

مزید دیکھیے

• رجعت نسبت
• سائیلیب
• Maxima software batch(solve_rec)