فیثاغورثی اوسطیں

A geometric construction of the Quadratic mean and the Pythagorean means (of two numbers a and b). Harmonic mean denoted by H, Geometric by G, Arithmetic by A and Quadratic mean (also known as Root mean square) denoted by Q.

ریاضیات میں تین کلاسیکی اوسطیں حساباتی اوسط A، ہندسی اوسط G اور ایقاعی اوسط H ہیں۔ یہ یوں تعریف ہیں:

• $A(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)$
• $G(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$
• $H(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$

ہر ایک اوسط M کہ درجہ ذیل خوائص ہیں:

• اقداری تحفظ: $M(x,x,\dots ,x)=x$
• رتبہ اول ہم جنسیت: $M(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=bM(x_1,\dots ,x_n)$
• تبادلہ پر لاتفاوت: $M(\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=M(\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$، کسی بھی $i$ اور $j$ کے لیے
• اوسطی: $\min (x_1,\dots ,x_n)\le M(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

ان اوسطوں کا مطالعہ فیثاغورثوں اور دوسرے ریاضی دانوں نے کیا کیونکہ یہ ہندسہ اور موسیقی میں اہم ہیں۔

ان اوسطوں میں رتبہ موجود ہے (اگر تمام اعداد $x_i$ مثبت ہوں) اور چکوری اوسط

$Q=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$

کے ساتھ:

$\min \le H\le G\le A\le Q\le \max$