تبدل کامل

سانچہ:اصطلاح برابر ممیز اشیاء جن کی تعداد n ہو، کا تبدل کامل ان اشیاء کی واضح مرتب میں ترتیب کو کہتے ہیں۔ ان ترتیبوں کی تعداد کو $P(n,n)$ کی علامت سے لکھتے ہیں۔ گنتی کے بنیادی قاعدہ کی رُو سے

$P(n,n)=n!$

جہاں ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔

مثال کے طور پر، اشیاء "ج"، "ب"، "د"، کی مختلف تبدل کامل جدول 1 میں دی ہیں،

جدول 1

ج	ب	د
ج	د	ب
ب	ج	د
ب	د	ج
د	ج	ب
د	ب	ج

جن کی تعداد $3\times 2\times 1=6$ ہے۔

تعریف: ممیز اشیاء جن کی تعداد n ہو، کا تبدل کامل جبکہ n میں سے r اشیاء چنی جائیں، ان اشیاء میں سے r کی واضح مرتب میں ترتیب کو کہتے ہیں۔ ان ترتیبوں کی تعداد کو $P(n,r)$ کی علامت سے لکھتے ہیں۔ گنتی کے بنیادی قاعدہ کی رُو سے

جدول 2

ب	د
ب	ل
ب	ہ
د	ل
د	ب
د	ہ
ل	ہ
ل	د
ل	ب
ہ	ل
ہ	ب
ہ	د

$P(n,r)=n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1)$

جس کو عاملیہ کی تعریف استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں:

$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

$P(n,r)$ کے لیے کی ${}_n{P}^r$ علامت بھی استعمال ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اشیاء "ب"، "د"، "ل"، "ہ" کی تبدل کامل جبکہ 4 میں سے 2 اشیاء چنی جائیں، جدول 2 میں لکھی ہیں اور ان کی تعدار $P(4,2)=\frac{4!}{(4-2)!}=12$ ہے۔

جدول 3

م	ا	م	ا
م	ا	ا	م
م	م	ا	ا
ا	ا	م	م
ا	م	ا	م
ا	م	م	ا

مسلئہ اثباتی

تعریف: اشیاء جن کی کُل تعداد n ہو، جبکہ ان میں a اشیاء ایک جیسی ہوں، b اشیاء ایک جیسی ہوں، c اشیاء ایک جیسی ہوں اور اسی طرح، کا تبدل کامل ان اشیاء کی واضح مرتب میں ترتیب کو کہتے ہیں اور ان ترتیبوں کی تعداد

$\frac{n!}{a!b!c!\cdots }$

ہے۔ مثال کے طور پر اشیاء "م"، "ا"، "م"، "ا"، کا تبدل کامل جدول 3 میں دیا ہے اور ان کی تعداد $\frac{4!}{2!2!}=6$ ہے۔

مسلئہ اثباتی

اشیاء کی اقسام کی تعداد n ہو۔ ان میں سے r قسم کی اشیاء کی مرتب سجاوٹ کی راہیں $n^r$ ہیں۔

مسلئہ اثباتی

n اشیاء کو دائرہ میں مرتب سجانے کی راہیں $(n-1)!$ ہیں۔