مستقل نقطہ

سانچہ:اصطلاح برابر تعریف: ایک فنکشن $f(x)$ کا مستقل نکتہ ایسے $x^{*}$ کو کہا جاتا ہے، اگر

$x^{*}=f(x^{*})$

واضح رہے کہ ہر فنکشن کے لیے اس کا مستقل نکتہ ہونا ضروری نہیں۔

اگر مستقل نکتہ باکشش ہو، تو کسی بھی نکتہ پر فنکشن کے جواب پر فنکشن کی تکرار کرنے سے مستقل نکتہ تک پہنچا جا سکتا ہے۔

$f(\cdots f\left(f(f(x))\right))\to x^{*}$

اسے ہم ایک مثال سے واضح کرتے ہیں:

n	$X_n$
0	45
1	22.72
2	11.80
3	6.75
4	4.86
5	4.49

مثال

فائل:Sqroot map iteration.png

تصویر 1

درج ذیل رَجعت نسبت، عدد a کا مربع جزر (square root) نکالنے کے لیے استعمال ہو سکتی ہے۔

$X_n=\frac{1}{2}(X_{n-1}+\frac{a}{X_{n-1}}),n=0,1,2,\cdots$

$X_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{a}$ اس کا مستقل نکتہ ہے، جو اس مساوات کو یوں لکھ کر

$x=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$

تسلی کی جا سکتی ہے کہ $x=\sqrt{a}$ اس کا حل ہے۔

جدول میں اس رَجعت نسبت مساوات کی $a=20$ کے لیے کچھ تکرار دکھائی گئی ہیں۔ ہم $X_0=45$ سے شروع کرتے ہیں۔ دیکھو یہ جلد ہی اپنے مستقل نکتہ $\sqrt{20}\approx 4.472$ کے قریب پہنچ جاتا ہے۔ اسی عمل کو گراف کے ذریعہ تصویر 1 میں دکھایا گیا ہے۔ اس تصویر میں سبز رنگ سے فنکشن (map)

$y=f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$

دکھائی گئی ہے، جبکہ نیلے رنگ میں خط تنصیف

$y=x$      (ناصف)

دکھایا ہے۔ ان گراف (نیلے ناصف اور سبز فنکشن) کا سنگم اس رَجعت نسبت کا مستقل نکتہ ہے۔ تکرار کے عمل کو ہم یوں سمجھ سکتے ہیں۔ $X_1$ کو رَجعت مساوات سے گزارنے کے عمل کو $X_1$ سے سبز گراف تک جاتی ہوئی عمودی سرخ لکیر سے دکھایا گیا ہے، جہاں سے افقی سرخ لکیر اسے نیلی لکیر سے منعکس ہو کر $X_2$ بنتا دکھاتی ہے۔ اس طرح ایک تکرار مکمل ہوتی ہے۔

اور دیکھیے

• ویژہ قیمت
• Logistic map