سلسلہ (ریاضی)

سانچہ:اصطلاح برابر کسی متوالیہ کے ارکان کی جمع کو سلسلہ کہتے ہیں۔ مثلاً متوالیہ $1,3,5,7$ کی جمع $1+3+5+7$ اس کا بمطابق سلسہ ہے۔ متوالیہ

$v_1,v_2,v_3,\cdots ,v_n,\cdots$

کا n واں جزوی جمع

$S_n=v_1+v_2+\cdots +v_n$

ہے اور اس متوالیہ کا بمطابق سلسہ $S_n$ ہے۔ اس جمع کے لیے $\sum$ کی تدوین عموماً استعمال ہوتی ہے، $S_n=\sum _{i=1}^n{v}_i$ جہاں i جمع کی index ہے اور i کی نچلی حد 1 ہے اور اس کی اوپر حد n ہے۔ $\sum$ تدوین کے ساتھ جمع کے کچھ خواص بیان کرتے ہیں:

• دائم عدد c ہو اور قدرتی اعداد m, n، جہاں $m\le n$۔ متوالیہ $v_1,v_2,\cdots ,v_n,\cdots$ ہو۔ پھر

$\sum _{i=m}^{n}c{v}_i=c\sum _{i=m}^n{v}_i$

• متوالیہ $u_1,u_2,\cdots ,u_n,\cdots$ اور $v_1,v_2,\cdots ,v_n,\cdots$ ہوں اور قدرتی اعداد m, n، جہاں $m\le n$، پھر

$\sum _{i=m}^n(v_i+u_i)=\sum _{i=m}^n{v}_i+\sum _{i=m}^n{u}_i$

• متوالیہ $v_1,v_2,\cdots ,v_n,\cdots$ ہو اور قدرتی اعداد m, n, p، جہاں $m<n<p$، پھر

$\sum _{i=m}^p{v}_i=\sum _{i=m}^n{v}_i+\sum _{i=n+1}^p{v}_i$

حسابی متوالیہ

متوالیہ جس کے تواتر ارکان کا فرق دائم ہو، کو حسابی متوالیہ کہا جاتا ہے۔ اس کی عام شکل یوں ہو گی

$a,a+d,a+2d,a+3d,\cdots$

جہاں a پہلا رکن ہے اور d مشترکہ فرق۔ اس متوالیہ کے n ویں رکن $v_n$ کو یوں لکھیں گے

$v_n=a+(n-1)d,n\in \mathbb{N}$

اس متوالیہ کے سلسلہ $S_n=\sum _{i=1}^n{v}_i$ کو یوں معلوم کیا جا سکتا ہے

$\begin{array}{ccccccccc}{S}_n& =& (a)& +& (a+d)& +& \cdots & +& (a+(n-1)d)\\ S_n& =& (a+(n-1)d)& +& (a+(n-2)d)& +& \cdots & +& (a)\\ \\ 2S_n& =& (2a+(n-1)d)& +& (2a+(n-1)d)& +& \cdots & +& (2a+(n-1)d)\end{array}$

پہلی دو سطروں میں سلسلہ کے ارکان کو ایک دوسرے کے مخالف ترتیب میں لکھا گیا ہے۔ تیسری سطر پہلی دو سطروں کو جمع کر کے حاصل ہوئی ہے۔ غور کرو کہ تیسری سطر میں n رقمیں ہیں، جو سب برابر ہیں۔ اس سے ہمیں یہ کلیہ ملتا ہے

$S_n=\frac{n(2a+(n-1)d)}{2}$

ہندساتی متوالیہ

متوالیہ جس کے تواتر ارکان کا تناسب دائم ہو، کو ہندساتی متوالیہ کہتے ہیں۔ اس کی عام شکل یوں ہو گی

$a,ar,a{r}^2,a{r}^3,\cdots$

جہاں a پہلا رکن ہے اور r مشترکہ تناسب۔ اس متوالیہ کے n ویں رکن $v_n$ کو یوں لکھیں گے

$v_n=a{r}^{(n-1)},n\in \mathbb{N}$

اس متوالیہ کے سلسلہ $S_n=\sum _{i=1}^n{v}_i$ کو یوں معلوم کیا جا سکتا ہے

$\begin{array}{cccccccccc}{S}_n& =& a& +& ar& +& \cdots & +& a{r}^{n-2}& +a{r}^{n-1}\\ r{S}_n& =& & & ar& +& \cdots & +& a{r}^{n-2}& +a{r}^{n-1}+a{r}^n\end{array}$

دوسری سطر پہلی سطر کو r سے ضرب دے کر حاصل ہوئی ہے۔ پہلی سطر میں سے دوسری سطر کو منفی کر کے ہمیں حاصل ہوتا ہے

$S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$

جس سے کلیہ مل جاتا ہے

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

لامتناہی سلسلہ

لامتناہی سلسلہ کو حد کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے، $S_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n$ اگر جواب متناہی ہو، یعنی

$|S_{\mathrm{\infty }}|<\mathrm{\infty }$

تو کہتے ہیں کہ سلسلہ مرکوز ہوتا ہے، ورنہ نہیں۔ مثال کے طور پر ہندساتی سلسلہ کو دیکھیں

$S_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

یہ مرکوز ہوتا ہے، جب $|r|<1$ اور

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r},|r|<1$

کیونکہ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}^n=0,|r|<1$