جیکبی طریقہ

یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام حل کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ اس کے لیے مساوات کو ایک تفاعل کی صورت لکھا جاتا ہے جس پر مستقل نکتہ کا طریقہ استعمال کیا جاتا ہے۔ یکلخت مساوات کو ہم یوں بطور میٹرکس مساوات لکھتے ہیں:

$X=DX+c$

جہاں

$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}0& -\frac{a_{1,2}}{a_{1,1}}& \cdots -\frac{a_{1,n}}{a_{1,1}}\\ -\frac{a_{2,1}}{a_{2,2}}& 0& -\cdots \frac{a_{2,n}}{a_{2,2}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ -\frac{a_{n,1}}{a_{n,n}}& -\cdots \frac{a_{n,2}}{a_{n,n}}& 0\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{c}\frac{b_1}{a_{1,1}}\\ \frac{b_2}{a_{2,2}}\\ ⋮\\ \frac{b_n}{a_{n,n}}\end{array}\right]$

اب لکھو

$f(X)=DX+c$

اب اس مساوات نظام کا X حل اسی وقت ہو گا اور صرف اسی وقت ہو گا، جب یہ تفاعل $f(X)$ کا مستقل نکتہ ہو۔

کمپیوٹر (کمپوٹر) پر اسے حل کرنے کا طریقہ یہ ہے کہ ہم کسی بھی $X_0$ سے شروع کر کے یوں چلتے جاتے ہیں:

$\begin{array}{c}{X}_1=D{X}_0+c\\ X_2=D{X}_1+c\\ X_3=D{X}_2+c\\ ⋮\end{array}$

جبتک یکے بعد دیگرے $X_k$ اور $X_{k+1}$ میں فرق بالکل معمولی رہ جائے۔ اگر مساوات کا حل ممکن ہو تو حل $X$ متوالیہ $\{X_k\}$ کی آخر ہو گا (اگر یہ متوالیہ کسی حد کی طرف جائے) :

$X=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_k$

یہ ضروری نہیں کہ جیکبی طریقہ کام کرے (متوالیہ کسی طرف مرکوز (converge) ہو تو حل نکل سکتا ہے)۔

مثال

مساوات کا نظام

$\begin{array}{ccc}-2.0x_0+1.1x_1-0.2x_2& =& -.2\\ -2.7x_0+3.0x_1+1.5x_2& =& 0.9\\ -0.3x_0+0.2x_1-1.0x_2& =& 0.2\end{array}$

اس کو ہم جیکبی طریقہ کے لیے یوں ڈھال کر لکھتے ہیں:

$X^{(k+1)}=\left[\begin{array}{ccc}0& .55& -.1\\ .9& 0& -.5\\ -.3& .2& 0\end{array}\right]X^{(k)}+\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.3\\ -.2\end{array}\right]$

اب سب صفر سے شروع کر کے آگے بڑھتے جاتے ہیں: $X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ کچھ پہلی بازیوں کے جواب یہ ہیں:

$X^{(1)}=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.3\\ -0.2\end{array}\right],X^{(2)}=\left[\begin{array}{c}0.285\\ 0.49\\ -0.17\end{array}\right],X^{(3)}=\left[\begin{array}{c}0.39\\ 0.64\\ -0.19\end{array}\right]$

$X^{(4)}=\left[\begin{array}{c}0.47\\ 0.74\\ -0.19\end{array}\right],X^{(5)}=\left[\begin{array}{c}0.53\\ 0.82\\ -0.19\end{array}\right],X^{(6)}=\left[\begin{array}{c}0.56\\ 0.87\\ -0.19\end{array}\right]$

بہت سی بازیوں کے بعد یہ مساوات کا حل حاصل ہوتا ہے:

$X=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.67\\ 1.01\\ -0.20\end{array}\right]$

مزید دیکھیے

• سائیلیب