امثولہ (ریاضی)

اُمثولہ خطی الجبرا میں کسی سمتیہ کی لمبائی کے معنوں میں استعمال ہوتا ہے۔ امثولہ ایک فنکشن ہے جو کسی سمتیہ کو ایک مثبت عدد دیتی ہے، ماسوائے صفر سمتیہ کے۔ ایسی لکیری فضا $V$ جہاں اندرونی حاصل ضرب تعریف ہوا ہو، میں ایک سمتیہ $𝐯$ کے اُمثولہ کو $\Vert 𝐯\Vert$ لکھتے ہیں اور یہ سمتیہ کا اپنے ساتھ "اندرونی حاصل ضرب" کے جزر سے یوں تعریف کیا جاتا ہے :

$\Vert 𝐯\Vert =\sqrt{⟨𝐯,𝐯⟩}$

انگریزی میں اسے سمتیہ کی norm کہتے ہیں۔

اقلیدسی فضا میں

فائل:Norm simtia.png

اقلیدسی لکیری فضا ${ℝ}^n$ میں سمتیہ $𝐮=\left[\begin{array}{c}{u}_0\\ u_1\\ ⋮\\ u_{n-1}\end{array}\right]$ کی لمبائی (امثولہ) کی تعریف یوں ہو جائے گی (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی مقبول تعریف استعمال کرتے ہوئے):

$\Vert 𝐮\Vert =\sqrt{{u_0}^2+{u_1}^2+\cdots +{u_{n-1}}^2}$

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ (Euclidean geometry) میں لمبائی کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "لمبائی (امثولہ)" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

اُمثولہ کی خصوصیات

اقلیدسی ہندسہ میں لمبائی کی جو خصوصیات ہوتی ہیں، امثولہ کی تعریف ان پر پورا اترتا ہے۔ یہ خصوصیات یوں ہیں (یہاں $u$ اور $v$ کسی لکیری فضا میں سمتیہ ہیں اور $\alpha$ ایک سکیلر) :

1. $\Vert u\Vert \ge 0$
2. $\Vert u\Vert =0$ اگر بشرطِ اگر، جب $u=0$
3. $\Vert \alpha u\Vert =|\alpha |\Vert u\Vert$
4. $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$   تکون نامساوات

• انگریزی میں Norm = اُمثولہ
• وجہ تسمیہ: امثولہ کا لفظ اردو میں مثال کی شکل میں رائج بھی ہے، مثالی بھی اسی سے بنا ہے۔ لیکن، امثولہ کسی ایسی بات یا ایسے مظہر کو کہا جاتا ہے جس کی حیثیت مثال ِمعیار و ثابت کی ہو چکی ہو۔ یا وہ ایک مقیاسی کیفیت رکھتا ہو۔

مزید دیکھیے

• سائیلیب help norm