سالگرہ مسئلہ

سانچہ:اصطلاح برابر ایک جگہ اگر کچھ لوگ جمع ہوں تو اس کا کیا احتمال ہے کہ ان میں سے کسی دو اشخاص کی سالگرہ ایک ہی دن پڑتی ہو گی؟ اگر افراد کی تعداد صرف 23 ہو، تو اس بات کا تقریباً 50 فیصد امکان ہے کہ ان میں کم از کم دو افراد ایسے ہوں گے جن کی سالگرہ ایک ہی دن ہو گی! اس مسئلہ کی اہمیت اس وجہ سے ہے کہ یہ مسئلہ کئی روپ میں روز مرہ زندگی میں پیش آتا ہے اور عام آدمی کو بظاہر شاز و نادر (یا عجب اتفاق) معلوم ہونے والے واقعہ کا احتمال ریاضی قواعد کے مطابق خاصا زیادہ ہوتا ہے۔

بیان

$n$	$p_n$
15	0.253
23	0.507
30	0.706
50	0.970
75	0.9997

اس بات کا کیا احتمال ہے کہ n افراد میں سے دو افراد کی سالگرہ ایک ہی دن پڑتی ہو گی؟ آسانی کے لیے ہم پہلے اس واقعہ کے متمم واقعہ یعنی "n میں سے کسی دو افراد کی سالگرہ ایک دن نہیں پڑتی" کا احتمال معلوم کرتے ہیں۔ سال میں 365 دن ہوتے ہیں (leap سال کو چھوڑ کر)۔ ان n افراد کو 1 سے n تک عدد تفویض کر کے طبقہ بناؤ۔ اس طبقہ کے افراد کے سالگرہ دنوں کا طبقہ $365^n$ ممکنات پر مشتمل ہے۔ کسی دو شخص کی سالگرہ ایک ہی دن نہ پڑنے کی صورت میں ممکنات کی تعداد $365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)$ ہے۔ اس لیے کسی دو افراد کے ایک ہی دن سالگرہ ہونے کا احتمال

$p_n=1-\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}$

ہو گا۔ جدول میں دیکھو کہ افراد کی تعداد اگر 75 ہو تو یہ امر تقریباً یقینی ہے کہ ان میں دو افراد ایسے ضرور ہوں گے جن کی سالگرہ ایک ہی دن ہو گی۔

تقرب

مسئلہ کو یوں دیکھا جا سکتا ہے کہ n میں سے ہر دو افراد کے جوڑے کو پرکھا جائے کہ کیا ان کی سالگرہ ایک ہی ہے۔ ان جوڑوں کی تعداد $\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)$ ہے۔ اور کسی جوڑے کی کامیابی (یعنی ایک ہی دن سالگرہ) کا احتمال $\frac{1}{365}$ ہے۔ اگر کامیاب جوڑوں کی تعداد کو X کہا جائے، تو ظاہر ہے کہ تصادفی متغیر X دو رقمی توزیع شدہ ہو گا۔ اس توزیع کا پوئیسن توزیع سے تقرب کیا جا سکتا ہے، جہاں پوئیسن کا

$\lambda =\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\frac{1}{365}=\frac{1}{365}\frac{n(n-1)}{2}$

ہو گا۔ اب (کم از کم) دو افراد کا ایک ہی دن سالگرہ ہونے کا احتمال $\mathrm{Pr}(X\ge 1)$ ہے، جو پوئیسن توزیع کے حوالے سے

$\mathrm{Pr}(X\ge 1)\approx 1-exp(-\lambda )$

ہے۔ اس طرح احتمال $p_n$ کا تقرب یوں ہو گا

$p_n\approx 1-exp(-\frac{n(n-1)}{2\cdot 365})$

مزید دیکھیے

• مونٹے کارلو تشبیہ* سانچہ:ریاضی مدد