طوریہ

طبیعیات اور ہندسیات میں، طور سمتیہ (طوریہ) ایک ایسی محننی موج (sine wave) کی نمائندگی کرتا ہے جس کا حیطہ (A)، طور (θ) اور تعدد (ω) "وقتی-غیرتغیر" ہوں۔ طوریہ کے استعمال سے یہ موج تین جُز سے لکھی جا سکتی ہے اور اس طرح کچھ حسابگری آسان ہو جاتی ہے۔ خاص طور پر، تعدد جُز، جو منحنی موج کی "وقت تابعی" بھی ظاہر کرتا ہے، اکثر اوقات موجوں کے خطی اجتماع کی اجزا موجوں کے لیے یکساں ہوتا ہے۔ طوریہ کے استعمال سے یہ باہر نکل آتا ہے اور پھر ساکن حیطہ اور طور رہ جاتے ہیں، جن کی الجبرائی تولیف کی جا سکتی ہے (بجائے کہ مثلثیاتی)۔ اسی طرح لکیری تفرقی مساوات کو الجبرائی بنایا جا سکتا ہے۔ اس لیے اکثر طوریہ صرف ان دو جُز (حیطہ اور طور) کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

تعریف

عائلری کلیہ بتاتا ہے کہ منحنی موج کو دو مختلط-قدر فنکشن کی حاصل جمع سے ریاضیاتی نمائندہ کیا جا سکتا ہے:

A \cdot \cos (ω t + θ) = A / 2 \cdot e^{i (ω t + θ)} + A / 2 \cdot e^{- i (ω t + θ)},

^[1]

یا پھر درج ذیل فنکشن کے حقیقی حصہ سے :

\begin{matrix} A \cdot \cos (ω t + θ) & = Re {A \cdot e^{i (ω t + θ)}} \\ = Re {A e^{i θ} \cdot e^{i ω t}} . \end{matrix}

جیسا کہ اوپر بتایا گیا، طوریہ کو $A e^{i θ} e^{i ω t}$ لکھا جا سکتا ہے یا صرف مختلط دائم $A e^{i θ}$ ۔ دوسری صورت میں یہ سمجھا جائے کہ یہ زیر نظر منحنی موج کے حیطہ اور طور کو رمز کرنے کا طریقہ ہے (اور تمام زیر نظر موجوں کا تعدد برابر ہے)۔

طوریہ کے لیے اس سے بھی زیادہ مختصر نویسی زاویہ کی علامت استعمال کرتے ہوئے $A ∠ θ .$ ہے۔

منحنی موج کو مختلط میدان میں گھومتے ہوئے سمتیہ کا حقیقی محدر پر مسقط سمجھا جا سکتا ہے۔ سمتیہ کی مطلق قدر ارتعاش کا حیطہ ہے، جبکہ اس کا استدلال (زاویہ) موج کا کُل طور $ω t + θ$ ہے۔ طور دائم $θ$ اس زاویہ کا نمائندہ ہے جو مختلط سمتیہ حقیقی محدر سے وقت $t = 0$ پر بناتا ہے۔

طوریہ حساب

طوریہ پر لکیری عالج کے استعمال سے تعدد تبدیل نہیں ہوتا۔ اس لیے جب تک ایک ہی تعدد رکھنے والی منحنی موجیں لکیری نظام سے گذر رہی ہوں، طوریہ حساب کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔

دائم (عددیہ) سے ضرب

طوریہ $A e^{i θ} e^{i ω t}$ کو مختلط دائم $Z e^{i ϕ}$ سے ضرب دینے سے ایک اور طوریہ حاصل ہوتا ہے۔ مطلب یہ کہ اس کا اثر منحنی موج کا حیطہ اور طور (زاویہ) تبدیل کرنے کا ہوتا ہے:

\begin{matrix} Re {(A e^{i θ} \cdot Z e^{i ϕ}) \cdot e^{i ω t}} & = Re {(A Z e^{i (θ + ϕ)}) \cdot e^{i ω t}} \\ = A Z \cos (ω t + (θ + ϕ)) \end{matrix}

برقیات میں $Z e^{i ϕ}$ برقی مسدودیت (جو وقت سے آزاد ہوتی ہے) کی نمائندگی کر سکتی ہے۔ خیال رہے کہ اگر $Z e^{i ϕ}$ سے مراد مختصر نویس علامت میں طوریہ ہو (جو "وقت-منحصری" کو چھپاتا ہے)، تو دو طوریہ کی ضرب دو منحنی موجوں کی ضرب ہے، جو غیر لکیری عالج ہے، اس لیے اس ضرب سے طوریہ حاصل نہیں ہوتا۔ دو منحنی موجوں کی ضرب سے مزید تعدد کا کلمہ حاصل ہوتا ہے، جس کی نمائندگی ایک طوریہ سے نہیں ہوتی۔

جمع

متعدد طوریہ کو جمع کرنے سے نیا طوریہ پیدا ہوتا ہے۔ اس وجہ سے کہ منحنی موجیں جن کا تعدد ایک ہی ہو، کا حاصل جمع بھی منحنی موج ہوتی ہے جس کا تعدد بھی وہی ہوتا ہے:

\begin{matrix} A_{1} \cos (ω t + θ_{1}) + A_{2} \cos (ω t + θ_{2}) & = Re {A_{1} e^{i θ_{1}} e^{i ω t}} + Re {A_{2} e^{i θ_{2}} e^{i ω t}} \\ = Re {A_{1} e^{i θ_{1}} e^{i ω t} + A_{2} e^{i θ_{2}} e^{i ω t}} \\ = Re {(A_{1} e^{i θ_{1}} + A_{2} e^{i θ_{2}}) e^{i ω t}} \\ = Re {(A_{3} e^{i θ_{3}}) e^{i ω t}} \\ = A_{3} \cos (ω t + θ_{3}), \end{matrix}

جہاں:

A_{3}^{2} = (A_{1} \cos (θ_{1}) + A_{2} \cos (θ_{2}))^{2} + (A_{1} \sin (θ_{1}) + A_{2} \sin (θ_{2}))^{2}

\tan (θ_{3}) = \frac{A_{1} \sin (θ_{1}) + A_{2} \sin (θ_{2})}{A_{1} \cos (θ_{1}) + A_{2} \cos (θ_{2})} .

طوریہ کا حاصل‌جمع گھومتے سمتیہ کی جمع سے

کلیدی نکتہ یہ ہے کہ A₃ اور θ₃ منحصر نہیں ω اور t پر، جو طوریہ علامت ممکن بناتا ہے۔ حاصل کلام یہ کہ اگر استعمال ہونے والے عالج ایسے ہوں جو نیا طوریہ بنایا کرتے ہوں، تو حسابگری میں 'وقت' اور 'تعدد' کی منحصری کو دبایا جا سکتا ہے اور جواب میں دوبارہ شامل کیا جا سکتا ہے۔ زاویہ کی علامت میں، اوپر والے عالج کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

A_{1} ∠ θ_{1} + A_{2} ∠ θ_{2} = A_{3} ∠ θ_{3}

اس کو دیکھنے کا دوسرا طریقہ یہ ہے کہ دو سمتییہ جن کے متناسق سانچہ:Nowrap اور سانچہ:Nowrap ہوں، کو سمتیائی جمع کرنے سے جو سمتیہ حاصل ہوتا ہے اس کے متناسق سانچہ:Nowrap ہیں۔ دیکھو حراک، نیلی اور سرخ منحنی موج کی حاصل جمع قرمزی رنگ کی منحنی موج ہے۔

تفریق اور تکامل

طوریہ کے وقتی تفریق یا تکامل سے ایک اور طوریہ بنتا ہے۔^[2] مثال کے طور پر

\begin{matrix} Re {\frac{d}{d t} (A e^{i θ} \cdot e^{i ω t})} & = Re {A e^{i θ} \cdot i ω e^{i ω t}} \\ = Re {A e^{i θ} \cdot e^{i π / 2} ω e^{i ω t}} \\ = Re {ω A e^{i (θ + π / 2)} \cdot e^{i ω t}} \\ = ω A \cdot \cos (ω t + θ + π / 2) \end{matrix}

اس لیے، طوریہ نمائندگی میں، منحنی موج کا وقتی مشتق اس دائم $i ω = (e^{i π / 2} \cdot ω) .$ سے ضرب ثابت ہوتا ہے۔ بعینہ، طوریہ کا تکامل ارتباط ہے دائم $i ω = (e^{i π / 2} \cdot ω) .$ سے تقسیم کے۔ وقتی منحصر جُز $e^{i ω t}$ ، متاثر نہیں ہوتا۔ جب ہم لکیری تفریق مساوات حل کر رہے ہوتے ہیں، تو ہم جُز $e^{i ω t}$ کو تمام اصطلاحات میں سے علاحدہ کر رہے ہوتے ہیں اور پھر جواب میں دوبارہ گھسا دیتے ہیں۔ مثال کے طور پر درج ذیل تفریق مساوات میں مکثف کے پار وولٹیج کے لیے RC circuit:

\frac{d v_{C} (t)}{d t} + \frac{1}{R C} v_{C} (t) = \frac{1}{R C} v_{S} (t)

جب وولٹیج ماخذ منحنی موج ہو:

v_{S} (t) = V_{P} \cdot \cos (ω t + θ),

ہم عوض کر سکتے ہیں:

\begin{matrix} v_{S} (t) & = Re {V_{s} \cdot e^{i ω t}} \end{matrix}

v_{C} (t) = Re {V_{c} \cdot e^{i ω t}},

جہاں طوریہ $V_{s} = V_{P} e^{i θ},$ اور طوریہ $V_{c}$ وہ نامعلوم مقدار ہے جس کا تعین کرنا ہے۔ طوریہ مختصر نویس علامت میں، تفرق مساوات بن جاتی ہے^[3]:

i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s}

مکثف کے طوریہ وولٹیج کے لے حل کرنے سے ملتا ہے:

V_{c} = \frac{1}{1 + i ω R C} \cdot (V_{s}) = \frac{1 - i ω R C}{1 + (ω R C)^{2}} \cdot (V_{P} e^{i θ})

جیسے ہم نے دیکھا، مختلط دائم جُز $v_{C} (t)$ سے $v_{s} (t)$ کا اضافی حیطہ اور طور میں فرق کو ظاہر کرتا ہے۔ قطبی متناسق میں، یہ جُز ہے:

\frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \cdot e^{- i ϕ (ω)},

جہاں

ϕ (ω) = \arctan (ω R C) .

اس لیے:

v_{C} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \cdot V_{P} \cos (ω t + θ - ϕ (ω))

حوالہ جات

سانچہ:حوالہ جات سانچہ:ریاضی مدد

↑
- i تخیلاتی ایکائی ہے، جہاں ( $i^{2} = - 1$ )
- برقی انجینئری کی کتب میں تخیلاتی ایکائی کو j کی علامت سے لکھا جاتا ہے
- موج کا تعدد ہرٹز کی ایکائی میں $ω / 2 π$ ہو گا
↑ یہ اس : $\frac{d}{d t} (e^{i ω t}) = i ω e^{i ω t}$ سے حاصل ہوتا ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ مشتق عالج میں اَسّی دالہ مشتق عالج کا ویژہ دالہ ہے۔
↑ ثبوت: سانچہ:NumBlk چونکہ یہ تمام t کے لیے سچ ہے، خاص: $t - \frac{π}{2 ω},$ ، اس سے پتہ چلتا ہے کہ: سانچہ:NumBlk یہ بھی فوری طور پر دیکھا جا سکتا ہے کہ
$\frac{d Re {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Re {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Re {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$

$\frac{d Im {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Im {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Im {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$
ان کو مساوات سانچہ:EquationNote اور سانچہ:EquationNote میں ڈال کر، مساوات سانچہ:EquationNote کو $i,$ سے ضرب دے کر اور دونوں مساوات کو جمع کر کے حاصل ہوتا ہے:
$i ω V_{c} \cdot e^{i ω t} + \frac{1}{R C} V_{c} \cdot e^{i ω t} = \frac{1}{R C} V_{s} \cdot e^{i ω t}$

$(i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s}) \cdot e^{i ω t}$

$i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s} (Q E D)$

[1] 
i تخیلاتی ایکائی ہے، جہاں ( $i^{2} = - 1$ )

برقی انجینئری کی کتب میں تخیلاتی ایکائی کو j کی علامت سے لکھا جاتا ہے

موج کا تعدد ہرٹز کی ایکائی میں $ω / 2 π$ ہو گا

[2] تخیلاتی ایکائی ہے، جہاں ( $i^{2} = - 1$ )

[3] برقی انجینئری کی کتب میں تخیلاتی ایکائی کو j کی علامت سے لکھا جاتا ہے

[4] موج کا تعدد ہرٹز کی ایکائی میں $ω / 2 π$ ہو گا

[2] یہ اس : $\frac{d}{d t} (e^{i ω t}) = i ω e^{i ω t}$ سے حاصل ہوتا ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ مشتق عالج میں اَسّی دالہ مشتق عالج کا ویژہ دالہ ہے۔

[3] ثبوت: سانچہ:NumBlk چونکہ یہ تمام t کے لیے سچ ہے، خاص: $t - \frac{π}{2 ω},$ ، اس سے پتہ چلتا ہے کہ: سانچہ:NumBlk یہ بھی فوری طور پر دیکھا جا سکتا ہے کہ
$\frac{d Re {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Re {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Re {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$

$\frac{d Im {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Im {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Im {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$
ان کو مساوات سانچہ:EquationNote اور سانچہ:EquationNote میں ڈال کر، مساوات سانچہ:EquationNote کو $i,$ سے ضرب دے کر اور دونوں مساوات کو جمع کر کے حاصل ہوتا ہے:
$i ω V_{c} \cdot e^{i ω t} + \frac{1}{R C} V_{c} \cdot e^{i ω t} = \frac{1}{R C} V_{s} \cdot e^{i ω t}$

$(i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s}) \cdot e^{i ω t}$

$i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s} (Q E D)$

[1]

[2]

[3]

طوریہ

فہرست

تعریف

طوریہ حساب

دائم (عددیہ) سے ضرب

جمع

تفریق اور تکامل

حوالہ جات

ویکی پیمائی کی فہرست

طوریہ

تعریف

طوریہ حساب

دائم (عددیہ) سے ضرب

جمع

تفریق اور تکامل

حوالہ جات

ویکی پیمائی کی فہرست

تلاش