قرعہ مسئلہ

سانچہ:اصطلاح برابر کسی انتخاب میں امیدوار الف کو n ووٹ پڑتے ہیں اور امیدوار ج کو m ووٹ ($n>m$). اب صندوق میں پڑے n+m ووٹوں کو گنا جائے تو اس کا کیا احتمال ہے کہ تمام تر گنتی کے دوران الف کو ج پر سبقت رہے گی؟ یہ احتمال یوں ہے:

$P_{n,m}=\frac{n-m}{n+m}$

اس مسئلہ کو یوں بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ آپ کے پاس n سرخ گیند اور m نیلے گیند ($n>m$) ہیں۔ ایسے کتنے لکیری مرتب ہیں جن میں پہلے i گیندوں میں سرخ گیندوں کی تعداد نیلے گیندوں سے زیادہ ہے اور جہاں $i=1,\cdots ,n+m$. مثلاً اگر چار سرخ اور دو نیلے گیند ہیں تو ایسے یہ دو مرتب ممکن ہیں: (سرخ، سرخ، سرخ، نیلا، نیلا)، (سرخ، سرخ، نیلا، سرخ، نیلا)۔ ممکن مرتب کی تعداد کو ہم کی N(n,m) علامت سے لکھتے ہیں۔ سرخ اور نیلے گیندوں کے کُل لکیری مرتب $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})$ ممکن ہیں، کیونکہ n+m جگہوں میں n سے جگہوں پر سرخ گیند رکھے جانے ہیں۔ اس لیے احتمال بنتا ہے:

$P_{n,m}=\frac{N(n,m)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m})}$

اب اگر آخری گیند سرخ ہو، تو بقیہ n-1 سرخ اور m نیلے گیندوں میں سے مطلوبہ مرتب (جن میں سرخ ہمیشہ زیادہ ہوں) کی تعداد N(n-1,m) ہے۔ اسی طرح اگر آخری گیند نیلا ہو، تو بقیہ n سرخ اور m-1 نیلے گیندوں میں مطلوبہ مرتب کی تعداد N(n,m-1) ہے۔ اس لیے

N(n,m) = N(n-1,m)+N(n,m-1)

ان دو مساوات کو استعمال کرتے ہوئے ہم نیچے کی مساوات حاصل کر سکتے ہیں:

$P_{n,m}=\frac{n}{n+m}{P}_{n-1,m}+\frac{m}{n+m}{P}_{n,m-1}$

جس میں $P_{n,m}$ کی اوپر دی عبارت ڈال کر تسلی کی جا سکتی ہے کہ اس مساوات کی تسکین ہوتی ہے۔

مزید دیکھیے

• تولیف