کیٹیلان عدد

سانچہ:اصطلاح برابر ریاضیات کے شعبہ تالیفیات میں کیٹیلان عدد ایک متوالیہ تعریف کرتے ہیں اور یہ تالیفیات میں کافی مفید ثابت ہوتے ہیں۔ n^واں کیٹلان عدد $C_n$ یوں تعریف ہوتا ہے:

$C_n=\frac{1}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2}{n-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2}{n-1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2}{n})$

تعریف:راہ: کارتیسی مستوی میں شُبیکہ نقطہ $(x_0,y_0)$ سے شبیکہ نقطہ $(x_m,y_m)$ راہ شبیکہ نقاط کے متوالیہ $\{(x_i,y_i)\}$ کو کہتے ہیں، جبکہ نقاط $(x_i,y_i)$ کی یہ خصوصیت ہو کہ $i=0,1,\cdots ,m-1$ کے لیے $x_{i+1}=x_i+1,y_{i+1}=y_i$ یا پھر $x_{i+1}=x_i,y_{i+1}=y_i+1$

تعریف: راہ کو اچھا کہتے ہیں اگر

$y_i<x_i,i=0,1,\cdots ,m$

• نقطہ $(x_0,y_0)$ سے نقطہ $(x_m,y_m)$ راہوں کی تعداد

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{(x_m-x_0)+(y_m-y_0)}{x_m-x_0})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{(x_m-x_0)+(y_m-y_0)}{y_m-y_0})$

ہے۔ یہ اس وجہ سے ہے کہ نقطہ $(x_0,y_0)$ سے نقطہ $(x_m,y_m)$ جانے تک $(x_m-x_0)+(y_m-y_0)$ قدم ہیں اور ہر قدم پر آپ کو اُفقی یا عمودی طرف کا انتخاب کرنا ہے، یعنی $(x_m-x_0)+(y_m-y_0)$ میں سے $(x_m-x_0)$ افقی قدموں کا انتخاب یا $(x_m-x_0)+(y_m-y_0)$ میں سے $(y_m-y_0)$ عمودی قدموں کا انتخاب۔

• نقطہ $(x_0,y_0)$ سے نقطہ $(x_m,y_m)$ تک اچھی اور بری دونوں طرح کی راہیں موجود ہوں گی اگر

$y_0<x_0\le y_m<x_m$

• نقطہ $(1,0)$ سے نقطہ $(n,n-1)$ تک اچھی راہوں کی تعداد کیٹلاں عدد $C_n$ کے برابر ہے۔