ہندوستانی ریاضی کا مسودہ

'''ہندوستانی ریاضی''' 1200 قبل مسیح سے لے کر 18ویں صدی کے آخر تک [[برصغیر]] میں پروان چڑھی۔<ref name="plofker"/><ref name=hayashi2005-p360-361>{{Harvard citation|Hayashi|2005|pp=360–361}}</ref> ہندوستانی ریاضی کے کلاسیکی دور (400 عیسوی سے 1200 عیسوی) میں، اسکالرز جیسے [[آریہ بھٹ]]، [[برہما گپتا]]، [[آچاریہ بھاسکر]]، [[وراہ مہیر]] اور [[مادھو سنگم گرام]] نے اہم شراکتیں کیں۔ آج استعمال ہونے والا [[اعشاریہ نظام]] سب سے پہلے ہندوستانی ریاضی میں درج ہوا۔<ref name="irfah346">{{Harvard citation|Ifrah|2000|p=346}}: "ہندوستانی تہذیب کی عظمت کا اندازہ اس بات سے لگایا جا سکتا ہے کہ ہمارا جدید (نمبر) نظام اسی کی دین ہے۔ یہ واحد تہذیب تھی جس نے یہ کامیابی حاصل کی۔ کچھ تہذیبوں نے ہندوستانی تہذیب سے پہلے ہی اس کامیابی کے ایک یا دو پہلوؤں کو دریافت کر لیا تھا۔ لیکن کسی نے بھی ایک مکمل اور مربوط نظام تشکیل نہیں دیا جو ہمارے اپنے نظام جتنا طاقتور ہو۔"</ref><ref>{{Harvard citation|Plofker|2009|pp=44–47}}</ref> ہندوستانی ریاضی دانوں نے [[صفر (عدد)]] کے تصور کو ایک عدد کے طور پر،<ref name="bourbaki46">{{Harvard citation|Bourbaki|1998|p=46}}: "...ہمارا اعشاری نظام، جو (عربوں کے ذریعے) ہندوستانی ریاضی سے ماخوذ ہے، جہاں اس کا استعمال ہماری عیسوی تاریخ کے پہلے صدیوں سے ہی ثابت ہے۔ یہ بات بھی قابل ذکر ہے کہ صفر کو ایک عدد کے طور پر سمجھنا اور اسے صرف ایک علیحدگی کے علامت کے طور پر نہیں بلکہ حساب میں شامل کرنا بھی ہندوستانیوں کی اصل شراکت ہے۔"</ref> [[منفی عدد]]،<ref name=bourbaki49>{{Harvard citation|Bourbaki|1998|p=49}}: قرون وسطی کے دوران جدید ریاضی کو "Modus Indorum" یا ہندوستانیوں کا طریقہ کہا جاتا تھا۔ [[فیبوناشی]] نے لکھا کہ ہندوستانیوں کے طریقہ کے مقابلے میں دیگر تمام طریقے غلط ہیں۔ ہندوستانیوں کا یہ طریقہ ہمارے جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے بہت سادہ حساب سے زیادہ کچھ نہیں ہے۔ ان چار سادہ طریقوں کے قواعد سب سے پہلے [[برہما گپتا]] نے 7ویں صدی عیسوی میں لکھے تھے۔ "اس نقطہ پر، ہندوستانیوں کو منفی اعداد کی تشریح کا پہلے ہی احساس تھا جو کچھ مخصوص حالات میں (جیسے کہ تجارتی مسئلے میں قرض) ہو سکتی ہے۔ اگلی صدیوں میں، جب عربوں کے ذریعے یونانی اور ہندوستانی ریاضی کے طریقے اور نتائج مغرب میں پھیلے، تو لوگ ان اعداد کو استعمال کرنے کے عادی ہو گئے اور ان کے لیے دیگر "نمائندگی" بھی تیار کی گئیں جو ہندوستان میں ہی تیار کی گئیں۔"</ref> [[حساب]] اور [[الجبرا]] کے مطالعہ میں ابتدائی شراکتیں کیں۔<ref name=concise-britannica/> اس کے علاوہ، [[مثلثیات]]<ref>{{Harvard citation|Pingree|2003|p=45}} اقتباس: "ہندوستانی فلکیات دانوں نے سب سے زیادہ استعمال ہونے والی ریاضی میں جیومیٹری اور اس کی شاخ مثلثیات تھی۔ یونانی ریاضی دانوں نے مکمل راستہ استعمال کیا اور آج ہم جو نصف راستہ استعمال کرتے ہیں اس کا تصور بھی نہیں کیا۔ نصف راستہ سب سے پہلے آریہ بھٹ نے استعمال کیا جس نے مثلثیات کو بہت آسان بنا دیا۔ درحقیقت، تیسری یا چوتھی صدی میں ہندوستانی فلکیات دانوں نے، پٹولمی کے یونانی جدولِ راستہ کو استعمال کرتے ہوئے، سائن اور ورسائن کے جدول تیار کیے، جن سے کوسائن نکالنا آسان تھا۔ مثلثیات کا یہ نیا نظام، جو ہندوستان میں تیار ہوا، آٹھویں صدی کے آخر میں عربوں کو منتقل ہوا اور ان کے ذریعے، ایک توسیعی شکل میں، بارہویں صدی میں لاطینی مغرب اور بازنطینی مشرق کو منتقل ہوا۔"</ref> کو ہندوستان میں مزید ترقی دی گئی اور خاص طور پر، [[سائن]] اور [[کوسائن]] کی جدید تعریفیں وہاں تیار کی گئیں۔<ref>{{Harvard citation|Bourbaki|1998|p=126}}: "جہاں تک مثلثیات کا تعلق ہے، یہ جیومیٹر کے لیے غیر اہم ہے اور سروے کرنے والوں اور فلکیات دانوں کے حوالے کر دی گئی ہے؛ یہ وہ لوگ ہیں ([[Aristarchus of Samos|Aristarchus]]، [[ابرخس]]، [[بطلیموس]]) جو ایک قائمہ زاویہ والے مثلث (ہوائی یا کرہی) کے اضلاع اور زاویوں کے درمیان بنیادی تعلقات قائم کرتے ہیں اور پہلے جدول تیار کرتے ہیں (یہ جدول ایک دائرے پر ایک زاویہ <math>\theta < \pi</math> کے ذریعے کاٹے گئے قوس کی راستہ دیتے ہیں، دوسرے لفظوں میں عدد <math> 2r\sin\left(\theta/2\right)</math>؛ سائن کا تعارف، جو زیادہ آسانی سے ہینڈل کیا جا سکتا ہے، قرون وسطی کے ہندوستانی ریاضی دانوں کی دین ہے۔"</ref> یہ ریاضیاتی تصورات مشرق وسطیٰ، چین اور یورپ کو منتقل ہوئے<ref name=concise-britannica>"الجبرا" 2007. [https://www.britannica.com/ebc/article-231064 ''برٹانیکا کونسائس انسائیکلوپیڈیا''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070929134632/http://www.britannica.com/ebc/article-231064 |date=29 ستمبر 2007 }}. برٹانیکا آن لائن. 16 مئی 2007. اقتباس: "ایک مکمل اعشاری، پوزیشنل نظام یقینی طور پر 9ویں صدی (عیسوی) تک ہندوستان میں موجود تھا، پھر بھی اس کے مرکزی خیالات اس سے پہلے ہی چین اور اسلامی دنیا کو منتقل ہو چکے تھے۔ ہندوستانی ریاضی نے مثبت اور منفی اعداد کے ساتھ کام کرنے کے لیے مستقل اور درست قواعد تیار کیے اور صفر کو کسی بھی دوسرے عدد کی طرح سمجھا، یہاں تک کہ مشکل حالات جیسے کہ تقسیم میں بھی۔ کئی سو سال گذر گئے جب تک کہ یورپی ریاضی دانوں نے ان خیالات کو الجبرا کے ترقی پزیر شعبے میں مکمل طور پر شامل نہیں کیا۔"</ref> اور مزید ترقیوں کا باعث بنے جو اب ریاضی کے بہت سے شعبوں کی بنیاد ہیں۔

قدیم اور قرون وسطی کی ہندوستانی ریاضی کی تحریریں، جو سب [[سنسکرت]] میں لکھی گئیں، عام طور پر ''[[سوترا]]'' کے ایک حصے پر مشتمل ہوتی تھیں جس میں ایک طالب علم کو یاد رکھنے میں مدد کے لیے شعر میں قواعد یا مسائل کا ایک مجموعہ بیان کیا جاتا تھا۔ اس کے بعد ایک دوسرا حصہ ہوتا تھا جس میں ایک نثر کی تفسیر (کبھی کبھی مختلف اسکالرز کی طرف سے متعدد تفسیریں) شامل ہوتی تھیں جو مسئلے کو مزید تفصیل سے بیان کرتی تھیں اور حل کے لیے جواز فراہم کرتی تھیں۔ نثر کے حصے میں، شکل (اور اس لیے اس کی یادداشت) کو اتنا اہم نہیں سمجھا جاتا تھا جتنا کہ اس میں شامل خیالات کو۔<ref name="plofker">{{Harvard citation|Kim Plofker|2007|p=1}}</ref><ref name=filliozat-p140to143>{{Harvard citation|Filliozat|2004|pp=140–143}}</ref> تمام ریاضیاتی کام زبانی طور پر 500 قبل مسیح تک منتقل ہوتے رہے؛ اس کے بعد، وہ زبانی اور مسودہ دونوں شکل میں منتقل ہونے لگے۔ ہندوستانی برصغیر پر تیار ہونے والا قدیم ترین ریاضیاتی دستاویز [[بخشیلی مسودہ]] ہے، جو 1881 میں [[بخشیلی]] گاؤں میں دریافت ہوا، جو [[پشاور]] (موجودہ [[پاکستان]]) کے قریب ہے اور یہ غالباً 7ویں صدی عیسوی کا ہے۔<ref name=hayashi95>{{Harvard citation|Hayashi|1995}}</ref><ref name=plofker-brit6>{{Harvard citation|Kim Plofker|2007|p=6}}</ref>

ہندوستانی ریاضی میں ایک بعد کا اہم سنگ میل [[کیرلا اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس|کیرلا اسکول]] کے ریاضی دانوں کی طرف سے 15ویں صدی عیسوی میں [[مثلثیاتی دالہ]] (سائن، کوسائن اور [[آرک ٹینجنٹ]]) کے لیے [[سلسلہ (ریاضی)]] کی توسیعات کی ترقی تھی۔ ان کا کام، یورپ میں [[احصا]] کی ایجاد سے دو صدی پہلے مکمل ہوا، جو اب [[قوتی سلسلہ]] (جیومیٹرک سیریز کے علاوہ) کی پہلی مثال سمجھا جاتا ہے۔<ref>{{Harvard citation|Stillwell|2004|p=173}}</ref> تاہم، انھوں نے [[مشتق]] اور [[تکامل]] کا کوئی نظاماتی نظریہ تشکیل نہیں دیا اور نہ کوئی ثبوت ہے کہ ان کے نتائج [[کیرلا]] سے باہر منتقل ہوئے ہوں۔<ref>{{Harvard citation|Bressoud|2002|p=12}} اقتباس: "کوئی ثبوت نہیں ہے کہ ہندوستان میں سیریز پر کام ہندوستان سے باہر یا یہاں تک کہ کیرلا سے باہر، 19ویں صدی تک جانا جاتا تھا۔ گولڈ اور پنگری کا دعویٰ ہے [4] کہ جب یہ سیریز یورپ میں دوبارہ دریافت ہوئیں، تو وہ ہندوستان کے لیے عملی طور پر کھو چکی تھیں۔ سائن، کوسائن اور آرک ٹینجنٹ کی توسیعات شاگردوں کی کئی نسلوں کے ذریعے منتقل ہوئیں، لیکن وہ بانجھ مشاہدات رہیں جن کے لیے کوئی زیادہ استعمال نہیں کر سکا۔"</ref><ref>{{Harvard citation|Plofker|2001|p=293}} اقتباس: "ہندوستانی ریاضی پر بحث میں یہ دعوے کرنا غیر معمولی نہیں ہے کہ "تفریق کا تصور 10ویں صدی میں منجولا کے زمانے سے ہندوستان میں سمجھا جاتا تھا" [جوزف 1991، 300] یا یہ کہ "ہم مادھو کو ریاضیاتی تجزیہ کا بانی سمجھ سکتے ہیں" (جوزف 1991، 293) یا یہ کہ بھاسکر دوم "نیوٹن اور لائبنیز کے پیشرو ہو سکتے ہیں جو تفریقی حساب کے اصول کی دریافت میں ہیں" (بیگ 1979، 294)۔ ... مشابہت کے نقاط، خاص طور پر ابتدائی یورپی حساب اور کیرلا کے کام کے درمیان، یہاں تک کہ 15ویں صدی میں یا اس کے بعد مالابار ساحل سے لاطینی علمی دنیا میں ریاضیاتی خیالات کی ممکنہ منتقلی کے تجاویز کو جنم دیتے ہیں (مثال کے طور پر، (بیگ 1979، 285) میں)۔ ... تاہم، یہ بات ذہن میں رکھنی چاہیے کہ سنسکرت (یا ملیالم) اور لاطینی ریاضی کی مشابہت پر زور دینے سے ہماری پہلی ریاضی کو مکمل طور پر دیکھنے اور سمجھنے کی صلاحیت کم ہو سکتی ہے۔ ہندوستانیوں کی "تفریقی حساب کے اصول کی دریافت" کے بارے میں بات کرنا اس حقیقت کو کچھ حد تک مبہم کر دیتا ہے کہ ہندوستانی تکنیکوں نے سائن میں تبدیلیوں کو کوسائن کے ذریعے یا اس کے برعکس ظاہر کرنے کے لیے، جیسا کہ ہم نے دیکھا، اس مخصوص مثلثیاتی سیاق و سباق میں ہی رہا۔ تفریقی "اصول" کو خودساختہ افعال کے لیے عام نہیں کیا گیا تھا—درحقیقت، ایک خودساختہ فعل کا واضح تصور، اس کے مشتق یا مشتق لینے کے الگورتھم کا ذکر نہیں کرنا، یہاں غیر متعلق ہے۔"</ref><ref>{{Harvard citation|Pingree|1992|p=562}} اقتباس: "ایک مثال جو میں آپ کو دے سکتا ہوں وہ ہندوستانی مادھو کے مظاہرے سے متعلق ہے، جو تقریباً 1400 عیسوی میں، مثلثیاتی افعال کی لامحدود قوتی سیریز کو جیومیٹریکل اور الجبرائی دلائل کا استعمال کرتے ہوئے پیش کرتا ہے۔ جب اسے پہلی بار [[C.M. Whish|چارلس میتھیو ویش]] نے 1830 کی دہائی میں انگریزی میں بیان کیا، تو اسے ہندوستانیوں کی حساب کی دریافت کے طور پر سراہا گیا۔ یہ دعویٰ اور مادھو کی کامیابیاں مغربی مورخین کی طرف سے نظر انداز کر دی گئیں، شاید پہلے اس لیے کہ وہ یہ تسلیم نہیں کر سکتے تھے کہ ایک ہندوستانی نے حساب دریافت کیا، لیکن بعد میں اس لیے کہ کسی نے بھی ''رائل ایشیاٹک سوسائٹی کے کارروائیوں'' کو نہیں پڑھا، جس میں ویش کا مضمون شائع ہوا تھا۔ یہ معاملہ 1950 کی دہائی میں دوبارہ سامنے آیا اور اب ہمارے پاس سنسکرت کے متن مناسب طور پر ترمیم شدہ ہیں اور ہم سمجھتے ہیں کہ مادھو نے حساب کے بغیر سیریز کو کس ہوشیار طریقے سے اخذ کیا؛ لیکن بہت سے مورخین اب بھی اس مسئلے اور اس کے حل کو حساب کے علاوہ کسی اور چیز کے تناظر میں تصور کرنے سے قاصر ہیں اور یہ اعلان کرتے ہیں کہ حساب ہی وہ چیز ہے جو مادھو نے دریافت کی۔ اس معاملے میں مادھو کی ریاضی کی خوبصورتی اور ذہانت کو مسخ کیا جا رہا ہے کیونکہ وہ موجودہ ریاضیاتی حل کے نیچے دب گئی ہے جسے اس نے ایک متبادل اور طاقتور حل دریافت کیا۔"</ref><ref>{{Harvard citation|Katz|1995|pp=173–174}} اقتباس: "اسلامی اور ہندوستانی اسکالرز حساب ایجاد کرنے کے کتنا قریب آ گئے تھے؟ اسلامی اسکالرز تقریباً 1000 عیسوی تک کثیرالاضلاع کے تکامل تلاش کرنے کے لیے ایک عام فارمولا تیار کر چکے تھے—اور ظاہر ہے کہ وہ ایسے کسی بھی کثیرالاضلاع کے لیے فارمولا تلاش کر سکتے تھے جس میں وہ دلچسپی رکھتے تھے۔ لیکن، ایسا لگتا ہے، وہ چار سے زیادہ ڈگری کے کسی بھی کثیرالاضلاع میں دلچسپی نہیں رکھتے تھے، کم از کم ہمارے پاس آنے والے مواد میں۔ دوسری طرف، ہندوستانی اسکالرز، 1600 تک، ابن الہیثم کے جمع فارمولا کو خودساختہ قوتوں کے لیے استعمال کرنے کے قابل ہو گئے تھے تاکہ وہ افعال کے لیے قوتی سیریز کا حساب لگا سکیں جن میں وہ دلچسپی رکھتے تھے۔ اسی وقت تک، وہ ان افعال کے تفریقی کا حساب لگانا بھی جانتے تھے۔ تو حساب کے کچھ بنیادی خیالات نیوٹن سے کئی صدیوں پہلے مصر اور ہندوستان میں جانے جاتے تھے۔ ایسا لگتا نہیں ہے کہ اسلامی یا ہندوستانی ریاضی دانوں نے حساب کے نام سے شامل ہونے والے کچھ مختلف خیالات کو جوڑنے کی ضرورت محسوس کی۔ وہ ظاہر ہے صرف ان مخصوص حالات میں دلچسپی رکھتے تھے جہاں ان خیالات کی ضرورت تھی۔ ... اس لیے کوئی خطرہ نہیں ہے کہ ہمیں تاریخ کی کتابوں کو دوبارہ لکھنا پڑے گا تاکہ یہ بیان ہٹا دیا جائے کہ نیوٹن اور لائبنیز نے حساب ایجاد کیا۔ وہ یقینی طور پر وہ لوگ تھے جو بہت سے مختلف خیالات کو مشتق اور تکامل کے دو متحد موضوعات کے تحت جوڑنے کے قابل تھے، ان کے درمیان تعلق ظاہر کیا اور حساب کو ایک عظیم مسئلہ حل کرنے والے آلے میں تبدیل کر دیا جو آج ہمارے پاس ہے۔"</ref>

== ما قبل تاریخ ==
[[فائل:Poids cubiques harappéens - BM.jpg|تصغیر|وادی سندھ کی تہذیب میں معیاری کیے گئے مکعبی وزن]]
[[ہڑپہ]]، [[موہن جو دڑو]] اور [[وادیٔ سندھ کی تہذیب]] کے دیگر مقامات پر کی گئی کھدائیوں سے "عملی ریاضی" کے استعمال کے شواہد ملے ہیں۔ وادی سندھ کے لوگوں نے اینٹیں تیار کیں جن کے طول و عرض 4:2:1 کے تناسب میں تھے، جو اینٹوں کی ساخت کی استحکام کے لیے موزوں سمجھا جاتا تھا۔ انھوں نے وزن کا ایک معیاری نظام استعمال کیا جو درج ذیل تناسب پر مبنی تھا: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, اور 500، جس میں یونٹ کا وزن تقریباً 28 گرام تھا (جو تقریباً انگریزی اونس یا یونانی اونسیا کے برابر ہے)۔ انھوں نے وزن کو باقاعدہ [[ہندسہ|ہندسی]] شکلوں میں تیار کیا، جس میں [[ہیکساہیڈرون]]، [[بیرل]]، [[مخروط]] اور [[اسطوانہ]] شامل تھے، جو بنیادی [[ہندسہ]] کے علم کا مظاہرہ کرتے ہیں۔<ref>{{Citation|آخری=Sergent|پہلا=Bernard|عنوان=Genèse de l'Inde|سال=1997|صفحہ=113|زبان=fr|آئی_ایس_بی_این=978-2-228-89116-5|ناشر=Payot|مقام=Paris}}</ref>

وادی سندھ کی تہذیب کے رہائشیوں نے لمبائی کی پیمائش کو بھی اعلیٰ درجے کی درستی کے ساتھ معیاری بنانے کی کوشش کی۔ انھوں نے ایک حکمران ڈیزائن کیا — جسے ''موہن جو دڑو کا حکمران'' کہا جاتا ہے — جس کی لمبائی کا یونٹ (تقریباً 1.32 انچ یا 3.4 سینٹی میٹر) دس برابر حصوں میں تقسیم تھا۔ قدیم موہن جو دڑو میں تیار کی گئی اینٹوں کے طول و عرض اکثر اس لمبائی کے یونٹ کے ضربی ہوتے تھے۔<ref>{{Citation|آخری=Coppa|پہلا=A.|عنوان=Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population|جریدہ=Nature|جلد=440|تاریخ=6 April 2006|ڈی او آئی=10.1038/440755a|postscript=.|پب_میڈ=16598247|شمارہ=7085|صفحات=755–6|مصنفین کی نماش=etal|بب_کوڈ= 2006Natur.440..755C |s2cid=6787162}}</ref><ref>{{Citation|آخری=Bisht|پہلا=R. S.|سال=1982|فصل=Excavations at Banawali: 1974–77|مرتب آخری=Possehl, Gregory L.|عنوان=Harappan Civilisation: A Contemporary Perspective|صفحات=113–124|مقام=New Delhi|ناشر=Oxford and IBH Publishing Co.}}</ref>

[[لوتھل]] (2200 قبل مسیح) اور [[دھولویرا]] میں دریافت ہونے والے خول سے بنے ہوئے کھوکھلے استوانی اشیاء کو ہوائی جہاز میں زاویوں کی پیمائش کرنے اور ستاروں کی پوزیشن کا تعین کرنے کی صلاحیت کا مظاہرہ کیا گیا ہے۔<ref>{{حوالہ رسالہ|پہلا=S. R. |آخری=Rao |تاریخ=July 1992 |جریدہ=Marine Archaeology |جلد=3 |صفحات=61–62 |یوآرایل=http://drs.nio.org/drs/bitstream/handle/2264/3082/J_Mar_Archaeol_3_61.pdf?sequence=2 |عنوان=A Navigational Instrument of the Harappan Sailors |یوآرایل کی کیفیت=dead |آرکائیو یوآرایل=https://web.archive.org/web/20170808011822/http://drs.nio.org/drs/bitstream/handle/2264/3082/J_Mar_Archaeol_3_61.pdf?sequence=2 |آرکائیو تاریخ=2017-08-08}}</ref>

== ویدک دور ==
{{ہندوستان میں سائس اور ٹیکنالوجی}}
{{مزید دیکھیے|ویدانگا|وید}}

=== سمنہتا اور براہمن ===
[[ویدک دور]] کے متون بڑی تعداد کے استعمال کے شواہد فراہم کرتے ہیں۔ ''[[یجر وید]]'' (1200–900 قبل مسیح) کے زمانے تک، متون میں {{math|10<sup>12</sup>}} جیسی بڑی تعداد شامل کی جا رہی تھیں۔<ref name="hayashi2005-p360-361"/> مثال کے طور پر، ''[[اشومیدھ]]'' کے دوران انجام دی جانے والی ''آنہومہ'' ("خوراک کی قربانی") کے اختتام پر پڑھا جانے والا ''[[منتر]]''، جو سورج نکلنے سے پہلے، دوران اور بعد میں پڑھا جاتا ہے، دس کی طاقتوں کو ایک سو سے ایک کھرب تک بیان کرتا ہے:<ref name=hayashi2005-p360-361/>

{{اقتباس بند|''شاتا'' ("سو"، {{math|10<sup>2</sup>}}) کو سلام، ''سہسرا'' ("ہزار"، {{math|10<sup>3</sup>}}) کو سلام، ''ایوتا'' ("دس ہزار"، {{math|10<sup>4</sup>}}) کو سلام، ''نیوتا'' ("ایک لاکھ"، {{math|10<sup>5</sup>}}) کو سلام، ''پرایوتا'' ("دس لاکھ"، {{math|10<sup>6</sup>}}) کو سلام، ''اربُد'' ("دس ملین"، {{math|10<sup>7</sup>}}) کو سلام، ''نیاربُد'' ("سو ملین"، {{math|10<sup>8</sup>}}) کو سلام، ''سمُدر'' ("ایک ارب"، {{math|10<sup>9</sup>}}، لفظی معنی "سمندر") کو سلام، ''مدھیہ'' ("دس ارب"، {{math|10<sup>10</sup>}}، لفظی معنی "درمیان") کو سلام، ''انت'' ("سو ارب"، {{math|10<sup>11</sup>}}، لفظی معنی "اختتام") کو سلام، ''پراردھ'' ("ایک کھرب"، {{math|10<sup>12</sup>}}، لفظی معنی "حصوں سے پرے") کو سلام، ''اشوس'' (طلوع) کو سلام، ''ویوشتی'' (غروب) کو سلام، ''اُدیسیت'' (جو ابھرنے والا ہے) کو سلام، ''اُدیت'' (جو ابھر رہا ہے) کو سلام، ''اُدیت'' (جو ابھر چکا ہے) کو سلام، ''سورگ'' (جنت) کو سلام، ''مرتیہ'' (دنیا) کو سلام، سب کو سلام۔<ref name=hayashi2005-p360-361/>}}

جزوی کسر کا حل رگویدک لوگوں کو معلوم تھا، جیسا کہ پوروش سوکت (RV 10.90.4) میں بیان کیا گیا ہے:

{{اقتباس بند|پوروش کے تین چوتھائی حصے اوپر چلے گئے: اس کا ایک چوتھائی حصہ یہاں دوبارہ تھا۔}}

[[ست پتھ براہمن]] (تقریباً 7ویں صدی قبل مسیح) میں رسمی ہندسی تعمیرات کے قواعد شامل ہیں جو سلوا سوتروں سے ملتے جلتے ہیں۔<ref>A. Seidenberg, 1978. The origin of mathematics. Archive for History of Exact Sciences, vol 18.</ref>

=== شلب سوتر ===
{{اصل مضمون|شلبسوتر}}
''[[شلبسوتر]]'' (لفظی معنی، "ڈوریوں کے قواعد" [[ویدک سنسکرت]] میں) (تقریباً 700–400 قبل مسیح) میں قربانی کی آگ کے چبوتروں کی تعمیر کے قواعد درج ہیں۔<ref>{{Harvard citation|Staal|1999}}</ref> ''شلب سوتر'' میں پیش کیے گئے زیادہ تر ریاضیاتی مسائل "ایک الہیاتی ضرورت" سے پیدا ہوتے ہیں،<ref name=hayashi2003-p118>{{Harvard citation|Hayashi|2003|p=118}}</ref> یعنی مختلف شکلوں کے آگ کے چبوترے بنانا جو ایک جگہ پر ہوں۔ چبوتروں کو جلی ہوئی اینٹوں کی پانچ تہوں سے بنانا ضروری تھا اور ہر تہ میں 200 اینٹیں ہونی چاہئیں اور کوئی بھی دو متصل تہوں میں اینٹوں کی ترتیب یکساں نہیں ہونی چاہیے۔<ref name=hayashi2003-p118/>

ہیاشی کے مطابق، ''شلب سوتر'' میں "دنیا میں [[مسئلۂ فیثا غورث]] کا سب سے قدیم زبانی اظہار موجود ہے، حالانکہ یہ [[اولی بابلی سلطنت|قدیم بابلیوں]] کو پہلے سے معلوم تھا۔" <blockquote>ایک مستطیل کے وتر (''{{IAST|akṣṇayā-rajju}}'') نے وہی پیدا کیا جو اس کے اطراف (''pārśvamāni'') اور افقی (''{{IAST|tiryaṇmānī}}'') <ڈوریوں> نے الگ الگ پیدا کیا۔"<ref name=hayashi2005-p363>{{Harvard citation|Hayashi|2005|p=363}}</ref></blockquote> چونکہ یہ بیان ایک ''سوتر'' ہے، اس لیے یہ ضروری طور پر مختصر ہے اور یہ واضح نہیں ہے کہ ڈوریوں نے ''کیا'' پیدا کیا، لیکن سیاق و سباق سے واضح ہے کہ یہ ان کی لمبائی پر بنائے گئے مربع رقبے ہیں اور استاد نے شاگرد کو اس کی وضاحت کی ہوگی۔<ref name=hayashi2005-p363/>

ان میں [[فیثاغورثی ثلاثی]] کی فہرستیں شامل ہیں،<ref>فیثاغورثی ثلاثی اعداد کے ایسے ثلاثی ہیں {{math|(a, b, c)}} جن کی خاصیت یہ ہوتی ہے: {{math|1=a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>}}۔ اس طرح، {{math|1=3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>}}, {{math|1=8<sup>2</sup>+15<sup>2</sup> = 17<sup>2</sup>}}, {{math|1=12<sup>2</sup>+35<sup>2</sup> = 37<sup>2</sup>}}, وغیرہ۔</ref> جو [[ڈائیوفانٹائن مساوات]] کے خاص حالات ہیں۔<ref name=cooke198>{{Harvard citation|Cooke|2005|p=198}}: "''شلب سوتر'' کے حساب کا مواد فیثاغورثی ثلاثی تلاش کرنے کے قواعد پر مشتمل ہے جیسے {{math|(3, 4, 5)}}, {{math|(5, 12, 13)}}, {{math|(8, 15, 17)}}, اور {{math|(12, 35, 37)}}۔ یہ یقینی نہیں ہے کہ ان حساب کے قواعد کا کیا عملی استعمال تھا۔ بہترین قیاس یہ ہے کہ یہ مذہبی رسومات کا حصہ تھے۔ ایک ہندو گھر میں تین مختلف چبوتروں پر تین آگیں جلتی تھیں۔ تینوں چبوترے مختلف شکلوں کے ہوتے تھے، لیکن تینوں کا رقبہ ایک جیسا ہوتا تھا۔ ان شرائط نے کچھ "ڈائیوفانٹائن" مسائل کو جنم دیا، جن میں سے ایک خاص صورت فیثاغورثی ثلاثی کی تھی، تاکہ ایک مربع عدد کو دو دیگر مربع اعداد کے مجموعے کے برابر بنایا جا سکے۔"</ref> ان میں دائرے کو مربع بنانے اور "مربع کو دائرے میں تبدیل کرنے" کے بارے میں بیانات (جو ہم بعد میں جان گئے کہ تقریبی تھے) بھی شامل ہیں۔<ref name=cooke199-200>{{Harvard citation|Cooke|2005|pp=199–200}}: "تین چبوتروں کے ایک جیسے رقبے لیکن مختلف شکلوں کی ضرورت نے رقبوں کی تبدیلی کے مسائل کی وضاحت کی۔ ہندوستانیوں نے خاص طور پر دائرے کو مربع بنانے کے مسئلے پر غور کیا۔ ''بودھیان سوتر'' میں مربع کے برابر دائرہ بنانے کا مسئلہ بیان کیا گیا ہے۔ درج ذیل تقریبی تعمیر حل کے طور پر دی گئی ہے.... یہ نتیجہ صرف تقریبی ہے۔ مصنفین نے، تاہم، دونوں نتائج میں کوئی فرق نہیں کیا۔ ہمارے لیے قابل فہم اصطلاحات میں، یہ تعمیر {{math|π}} کی قدر 18 (3 − 2{{Radical|2}}) دیتی ہے، جو تقریباً 3.088 ہے۔"</ref>

[[بودھیان سوتر]] (تقریباً 8ویں صدی قبل مسیح) نے ''بودھیان شلب سوتر'' لکھا، جو سب سے مشہور ''شلب سوتر'' ہے، جس میں سادہ فیثاغورثی ثلاثی کی مثالیں شامل ہیں، جیسے: {{math|(3, 4, 5)}}, {{math|(5, 12, 13)}}, {{math|(8, 15, 17)}}, {{math|(7, 24, 25)}}, اور {{math|(12, 35, 37)}},<ref name=joseph229>{{Harvard citation|Joseph|2000|p=229}}</ref> نیز مربع کے اطراف کے لیے فیثاغورث کا نظریہ: "مربع کے وتر پر کھینچی گئی ڈوری اصل مربع کے رقبے سے دگنا رقبہ پیدا کرتی ہے۔"<ref name=joseph229/><ref>{{حوالہ ویب|یوآرایل=https://www.theintellibrain.com/vedicmaths/|عنوان=Vedic Maths Complete Detail|ویب گاہ= ALLEN IntelliBrain|تاریخ رسائی=22 October 2022}}</ref> اس میں فیثاغورث کے نظریے کا عمومی بیان (مستطیل کے اطراف کے لیے) بھی شامل ہے: "مستطیل کے وتر پر کھینچی گئی ڈوری وہ رقبہ پیدا کرتی ہے جو عمودی اور افقی اطراف مل کر پیدا کرتے ہیں۔"<ref name=joseph229/> بودھیان نے [[جذر المربع دو]] کے لیے ایک اظہار بھی دیا:<ref name=cooke200>{{Harvard citation|Cooke|2005|p=200}}</ref>
::<math>\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\cdot4} - \frac{1}{3\cdot 4\cdot 34} = 1.4142156 \ldots</math>
یہ اظہار پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست ہے، جبکہ اصل قدر 1.41421356... ہے۔<ref>اس تقریب کی قدر، 577/408، ایک ایسی ترتیب میں ساتویں نمبر پر ہے جو {{Radical|2}} کے لیے تیزی سے درست ہوتی ہوئی تقریبات دیتی ہے، جس کے شمار کنندہ اور مخرج کو قدیم یونانیوں نے "طرف اور قطر کے اعداد" کہا اور جدید ریاضی میں انھیں [[پیل اعداد]] کہا جاتا ہے۔ اگر ''x''/''y'' اس ترتیب میں ایک تقریب ہے، تو اگلی تقریب (''x'' + 2''y'')/(''x'' + ''y'') ہوگی۔ یہ تقریبات {{Radical|2}} کی [[جاری کسر]] کی نمائندگی کو مختصر کرکے بھی حاصل کی جا سکتی ہیں۔</ref> یہ اظہار ایک میسوپوٹامیائی تختی پر پایا گیا اظہار سے ملتا جلتا ہے<ref>Neugebauer, O. and A. Sachs. 1945. ''Mathematical Cuneiform Texts'', New Haven, CT, Yale University Press. p. 45.</ref> جو قدیم بابلی دور (1900–1600 [[عام زمانہ]]) کی ہے:<ref name=cooke200/>
::<math>\sqrt{2} \approx 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421297 \ldots</math>
جو {{Radical|2}} کو سیکسجیسیمل نظام میں ظاہر کرتا ہے اور یہ بھی پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست ہے۔

ریاضی دان ایس جی ڈینی کے مطابق، بابلی کیونیفارم تختی [[پلمپٹن 322]] جو تقریباً 1850 قبل مسیح میں لکھی گئی تھی،<ref>Mathematics Department, University of British Columbia, [http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html ''The Babylonian tabled Plimpton 322''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200617151320/http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html |date=17 June 2020 }}.</ref> "کافی بڑے اندراجات کے ساتھ پندرہ فیثاغورثی ثلاثی پر مشتمل ہے، جن میں (13500, 12709, 18541) بھی شامل ہے جو ایک بنیادی ثلاثی ہے،<ref>تین مثبت اعداد <math>(a, b, c) </math> ایک ''بنیادی'' فیثاغورثی ثلاثی بناتے ہیں اگر {{math|1=c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>}} اور اگر {{math|a, b, c}} کا سب سے بڑا مشترکہ عامل 1 ہو۔ پلمپٹن322 کی خاص مثال میں، اس کا مطلب ہے کہ {{math|1=13500<sup>2</sup>+12709<sup>2</sup> = 18541<sup>2</sup>}} اور یہ تینوں اعداد کا کوئی مشترکہ عامل نہیں ہے۔ تاہم کچھ اسکالرز نے اس تختی کی فیثاغورثی تشریح پر اختلاف کیا ہے؛ تفصیلات کے لیے پلمپٹن 322 دیکھیں۔</ref> جو خاص طور پر ظاہر کرتا ہے کہ 1850 قبل مسیح میں میسوپوٹامیہ میں اس موضوع پر گہری سمجھ تھی۔" "چونکہ یہ تختیاں شلب سوتر کے دور سے کئی صدیوں پہلے کی ہیں اور کچھ ثلاثیوں کے سیاق و سباق کو مدنظر رکھتے ہوئے، یہ توقع کرنا معقول ہے کہ ہندوستان میں بھی اسی طرح کی سمجھ موجود ہوگی۔"<ref name=dani>{{Harvard citation|Dani|2003}}</ref> ڈینی مزید کہتے ہیں:

{{اقتباس بند|چونکہ ''شلب سوتر'' کا بنیادی مقصد چبوتروں کی تعمیر اور ان میں شامل ہندسی اصولوں کو بیان کرنا تھا، اس لیے فیثاغورثی ثلاثی کا موضوع، چاہے اس کی اچھی طرح سمجھ موجود ہو، شلب سوتر میں شامل نہیں ہو سکتا تھا۔ شلب سوتر میں ثلاثیوں کا ظہور ایسی ریاضی سے مشابہت رکھتا ہے جو کسی تعمیرات یا دیگر اسی طرح کے عملی شعبے کی ابتدائی کتاب میں مل سکتی ہے، اور اس زمانے میں اس موضوع پر مجموعی علم سے براہ راست مطابقت نہیں رکھتا۔ بدقسمتی سے، چونکہ کوئی دیگر ہم عصر ذرائع نہیں ملے ہیں، اس لیے یہ ممکن نہیں ہے کہ اس مسئلے کو تسلی بخش طریقے سے حل کیا جا سکے۔<ref name=dani/>}}

کل تین ''شلب سوتر'' لکھے گئے۔ باقی دو، ''منو شلب سوتر'' جو [[منو]] (تقریباً 750–650 قبل مسیح) نے لکھا اور ''اپستمب شلب سوتر''، جو [[اپستمب]] (تقریباً 600 قبل مسیح) نے لکھا، ''بودھیان شلب سوتر'' کے مشابہ نتائج پر مشتمل ہیں۔

;ویاکرن
{{اصل مضمون|ویاکرن}}

ویدک دور میں سنسکرت کے ماہر قواعد {{IAST|[[پانینی]]}} (تقریباً 520–460 قبل مسیح) کا کام دیکھا گیا۔ ان کی قواعد میں [[بیکس-نار فارم]] (جو [[پروگرامنگ زبان]]وں کی وضاحت میں استعمال ہوتا ہے) کا پیشرو شامل ہے۔<ref>{{حوالہ رسالہ|آخری1=Ingerman|پہلا1=Peter Zilahy|عنوان="Pānini-Backus Form" suggested|جریدہ=Communications of the ACM|تاریخ=1 March 1967|جلد=10|شمارہ=3|صفحات=137|ڈی او آئی=10.1145/363162.363165|s2cid=52817672|آئی_ایس_ایس_این=0001-0782|doi-access=free}}</ref>

== پنگل (300 قبل مسیح – 200 قبل مسیح) ==
ویدک دور کے بعد کے اسکالرز میں سے جو ریاضی میں حصہ ڈالتے ہیں، سب سے قابل ذکر [[پنگل]] (''{{IAST|piṅgalá}}'') ([[Floruit|تقریباً]] 300–200 قبل مسیح) ہیں، جو [[نظریہ موسیقی|موسیقی کے نظریہ دان]] تھے جنھوں نے [[چھند]] [[شاستر]] (''{{IAST|chandaḥ-śāstra}}''، جسے چھند سوتر ''{{IAST|chhandaḥ-sūtra}}'' بھی کہا جاتا ہے) لکھا، جو [[سنسکرت]] میں [[Sanskrit prosody|عروض]] پر ایک مقالہ ہے۔ پنگل کے کام میں [[فیبونیکی اعداد]] (جنہیں ''ماترا میرو'' کہا جاتا ہے) کے بنیادی خیالات بھی شامل ہیں۔ اگرچہ ''چھند سوتر'' مکمل طور پر محفوظ نہیں ہے، لیکن ہلایودھا کی 10ویں صدی کی تفسیر موجود ہے۔ ہلایودھا، جو [[پاسکل تکون|پاسکل کے تکون]] کو ''[[میرو پرشتار]]'' (لفظی معنی "میرو پہاڑ کی سیڑھی") کہتے ہیں، نے یہ کہا:

{{اقتباس بند|ایک مربع بنائیں۔ مربع کے نصف سے شروع کرتے ہوئے، اس کے نیچے دو اور اسی طرح کے مربع بنائیں؛ ان دو کے نیچے، تین دیگر مربع بنائیں، اور اسی طرح آگے بڑھیں۔ نشان لگانے کا آغاز پہلے مربع میں '''1''' رکھ کر کریں۔ دوسری لائن کے دو مربعوں میں ہر ایک میں '''1''' رکھیں۔ تیسری لائن میں آخر کے دو مربعوں میں '''1''' رکھیں اور درمیانے مربع میں، اوپر والے دو مربعوں میں موجود ہندسوں کا مجموعہ رکھیں۔ چوتھی لائن میں آخر کے دو مربعوں میں '''1''' رکھیں۔ درمیانے مربعوں میں، ہر ایک کے اوپر والے دو مربعوں میں موجود ہندسوں کا مجموعہ رکھیں۔ اسی طرح آگے بڑھیں۔ ان لائنوں میں، دوسری لائن ایک حرف کے ساتھ ترکیبات دیتی ہے، تیسری لائن دو حروف کے ساتھ ترکیبات دیتی ہے، ...<ref name=fowler96>{{Harvard citation|Fowler|1996|p=11}}</ref>}}

متن میں یہ بھی اشارہ کیا گیا ہے کہ پنگل [[تالیفیات]]ی شناخت سے واقف تھے:<ref name=singh36>{{Harvard citation|Singh|1936|pp=623–624}}</ref>

::<math> {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n </math>

;کاتیان
[[کاتیان]] (تقریباً تیسری صدی قبل مسیح) ویدک ریاضی دانوں میں سے آخری قابل ذکر شخصیت ہیں۔ انھوں نے ''کاتیان شلب سوتر'' لکھا، جس میں بہت سے [[ہندسہ|ہندسی]] مسائل شامل تھے، جن میں [[فیثاغورث کا نظریہ|فیثاغورث کا عمومی نظریہ]] اور [[جذر المربع دو]] کا حساب پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست تھا۔

== جین ریاضی (400 قبل مسیح – 200 عیسوی) ==
اگرچہ [[جین مت]] ایک مذہب اور فلسفہ کے طور پر اپنے سب سے مشہور مبلغ، عظیم [[مہاویر]] (6ویں صدی قبل مسیح) سے پہلے کا ہے، لیکن ریاضی کے موضوعات پر زیادہ تر جین متون 6ویں صدی قبل مسیح کے بعد لکھے گئے ہیں۔ [[جین مت|جین مت کے ریاضی دان]] تاریخی طور پر اہم ہیں کیونکہ وہ ویدک دور کی ریاضی اور "کلاسیکی دور" کی ریاضی کے درمیان اہم رابطہ ہیں۔

جین ریاضی دانوں کی ایک اہم تاریخی شراکت یہ تھی کہ انھوں نے ہندوستانی ریاضی کو مذہبی اور رسمی پابندیوں سے آزاد کیا۔ خاص طور پر، بہت بڑی تعداد کی گنتی اور [[متناہی اور لامتناہی|لامتناہی]] کے ساتھ ان کی دلچسپی نے انھیں اعداد کو تین کلاسوں میں تقسیم کرنے پر مجبور کیا: قابل شمار، ناقابل شمار اور [[متناہی اور لامتناہی|لامتناہی]]۔ لامتناہی کے سادہ تصور سے مطمئن نہ ہونے پر، ان کے متون میں لامتناہی کی پانچ مختلف اقسام کی تعریف کی گئی ہے: ایک سمت میں لامتناہی، دو سمتوں میں لامتناہی، رقبے میں لامتناہی، ہر جگہ لامتناہی اور ہمیشہ لامتناہی۔ اس کے علاوہ، جین ریاضی دانوں نے مربع اور مکعب جیسی اعداد کی سادہ طاقتوں (اور قوتوں) کے لیے علامتیں تیار کیں، جس نے انھیں سادہ [[الجبرا|الجبرائی مساوات]] ({{IAST|bījagaṇita samīkaraṇa}}) کی تعریف کرنے کے قابل بنایا۔ جین ریاضی دانوں نے صفر کے لیے لفظ ''شونیا'' (لفظی معنی [[سنسکرت]] میں ''خالی'') استعمال کرنے والے پہلے لوگ تھے۔ یہ لفظ [[صفر (عدد)|صفر]] کی اصل ہے، کیونکہ یہ عربی میں {{Lang|ar|ṣifr}} کے طور پر اور پھر بعد میں [[Medieval Latin|قرون وسطی کی لاطینی]] میں {{Lang|la|zephirum}} کے طور پر استعمال ہوا اور آخر کار [[رومنی زبانیں|رومنی زبانوں]] سے گذر کر انگریزی میں پہنچا (مثلاً فرانسیسی {{Lang|fr|zéro}}، اطالوی {{Lang|it|zero}})۔<ref>{{Multiref2
| {{cite encyclopedia|پہلا= Douglas|آخری= Harper |تاریخ=2011|فصل یوآرایل=https://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&search=zero&searchmode=none |فصل= Zero |آرکائیو یوآرایل=https://web.archive.org/web/20170703014638/http://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&search=zero&searchmode=none |آرکائیو تاریخ=3 July 2017 |عنوان= Etymonline Etymology Dictionary|اقتباس="figure which stands for naught in the Arabic notation," also "the absence of all quantity considered as quantity", {{تقریباً}} 1600, from French zéro or directly from Italian zero, from Medieval Latin zephirum, from Arabic sifr "cipher", translation of Sanskrit sunya-m "empty place, desert, naught"}}
|{{حوالہ کتاب|آخری=Menninger |پہلا=Karl |یوآرایل=https://books.google.com/books?id=BFJHzSIj2u0C |عنوان=Number Words and Number Symbols: A cultural history of numbers |ناشر=Courier Dover Publications |سال=1992 |آئی_ایس_بی_این=978-0-486-27096-8 |صفحات=399–404 |تاریخ رسائی=5 January 2016 }}
| {{حوالہ ویب|تاریخ=December 2011 |عنوان=zero, n. |یوآرایل=http://www.oed.com/view/Entry/232803?rskey=zGcSoq&result=1&isAdvanced=false |یوآرایل کی کیفیت=live |آرکائیو یوآرایل=https://www.webcitation.org/65yd7ur9u?url=http://www.oed.com/view/Entry/232803?rskey=zGcSoq&result=1&isAdvanced=false |آرکائیو تاریخ=7 March 2012 |تاریخ رسائی=4 March 2012 |ویب گاہ=[[اوکسفرڈ انگریزی لغت]] Online |ناشر=[[اوکسفرڈ یونیورسٹی پریس]] |اقتباس="French zéro (1515 in Hatzfeld & Darmesteter) or its source Italian zero, for *zefiro, < Arabic çifr" }} }}</ref>

''سوریہ پرجناپتی'' کے علاوہ، ریاضی پر اہم جین کاموں میں ''[[ستھانانگ سوتر]]'' (تقریباً 300 قبل مسیح – 200 عیسوی)؛ ''انوگودوار سوتر'' (تقریباً 200 قبل مسیح – 100 عیسوی)، جس میں ہندوستانی ریاضی میں [[عاملیہ|عاملیوں]] کا سب سے قدیم معلوم بیان شامل ہے؛<ref>{{حوالہ کتاب|آخری1= Datta |پہلا1= Bibhutibhusan |آخری2= Singh |پہلا2= Awadhesh Narayan |مرتب آخری1= Kolachana |مرتب پہلا1= Aditya |مرتب آخری2= Mahesh |مرتب پہلا2= K. |مرتب آخری3= Ramasubramanian |مرتب پہلا3= K. |فصل=Use of permutations and combinations in India |ڈی او آئی= 10.1007/978-981-13-7326-8_18 |صفحات= 356–376 |ناشر= Springer Singapore |سیریز= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |عنوان= Studies in Indian Mathematics and Astronomy: Selected Articles of Kripa Shankar Shukla |سال= 2019|آئی_ایس_بی_این= 978-981-13-7325-1 | s2cid = 191141516 }}. Revised by K. S. Shukla from a paper in ''Indian Journal of History of Science'' 27 (3): 231–249, 1992, {{MR | MR1189487}}. See p. 363.</ref> اور ''[[Ṣaṭkhaṅḍāgama]]'' (تقریباً دوسری صدی عیسوی) شامل ہیں۔ اہم جین ریاضی دانوں میں [[بھدر بہو]] (وفات 298 قبل مسیح)، جو دو فلکیاتی کاموں کے مصنف تھے، ''بھدر بہوی-سمہیتا'' اور ''سوریہ پرجناپتی'' پر ایک تفسیر؛ یاتی ورشم اچاریہ (تقریباً 176 قبل مسیح)، جنھوں نے ''[[تلویاپنتی]]'' نامی ایک ریاضیاتی متن لکھا؛ اور [[اوماسوتی]] (تقریباً 150 قبل مسیح)، جو اگرچہ جین فلسفہ اور [[ما بعد الطبیعیات|مابعدالطبیعیات]] پر اپنے اثرانداز تحریروں کے لیے زیادہ مشہور ہیں، نے ''[[تتوارتھ سوتر]]'' نامی ایک ریاضیاتی کام بھی لکھا۔

== زبانی روایت ==
قدیم اور ابتدائی قرون وسطی کے ہندوستانی ریاضی دان تقریباً تمام [[سنسکرت]] [[پنڈت]] (''{{IAST|paṇḍita}}'' "عالم") تھے،<ref name=filliozat-p137>{{Harvard citation|Filliozat|2004|p=137}}</ref> جو سنسکرت زبان اور ادب میں تربیت یافتہ تھے اور "[[قواعد]] ([[vyakarana|''{{IAST|vyākaraṇa}}'']])، [[تشریح]] ([[mimamsa|''{{IAST|mīmāṃsā}}'']]) اور [[منطق]] ([[nyaya|''nyāya'']]) میں علم کا ایک مشترکہ ذخیرہ رکھتے تھے۔"<ref name=filliozat-p137/> قدیم ہندوستان میں مقدس متون کی منتقلی میں "جو سنا گیا" (''[[شروتی]]'' سنسکرت میں) کو حفظ کرنے اور پڑھنے کا اہم کردار تھا۔ حفظ کرنے اور پڑھنے کا استعمال فلسفیانہ اور ادبی کاموں کے ساتھ ساتھ رسومات اور قواعد پر مقالوں کی منتقلی کے لیے بھی کیا جاتا تھا۔ قدیم ہندوستان کے جدید اسکالرز نے "ہندوستانی پنڈتوں کی حقیقی قابل ذکر کامیابیوں" کی نشان دہی کی ہے جنھوں نے ہزاروں سالوں تک بہت بڑے متون کو زبانی طور پر محفوظ کیا۔<ref name=pingree1988a>{{Harvard citation|Pingree|1988|p=637}}</ref>

=== حفظ کرنے کے انداز ===
قدیم ہندوستانی ثقافت نے یہ یقینی بنانے کے لیے بہت زیادہ توانائی صرف کی کہ یہ متون نسلاً بعد نسل بے مثال وفاداری کے ساتھ منتقل ہوں۔<ref>{{Harvard citation|Staal|1986}}</ref> مثال کے طور پر، مقدس ''[[وید]]وں'' کو حفظ کرنے میں ایک ہی متن کے گیارہ مختلف طریقوں سے پڑھنا شامل تھا۔ متون کو بعد میں مختلف طریقوں سے پڑھ کر "پروف ریڈ" کیا جاتا تھا۔ پڑھنے کے طریقوں میں ''{{IAST|jaṭā-pāṭha}}'' (لفظی معنی "جالی پڑھنا") شامل تھا جس میں متن کے ہر دو متصل الفاظ کو پہلے اصل ترتیب میں پڑھا جاتا تھا، پھر الٹ ترتیب میں دہرایا جاتا تھا اور آخر میں اصل ترتیب میں دہرایا جاتا تھا۔<ref name=filliozat-p139>{{Harvard citation|Filliozat|2004|p=139}}</ref> پڑھنے کا عمل اس طرح ہوتا تھا:

<div style="text-align: center;"> '''word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ...'''</div> پڑھنے کے ایک اور طریقے، ''{{IAST|dhvaja-pāṭha}}''<ref name=filliozat-p139/> (لفظی معنی "جھنڈا پڑھنا") میں ''N'' الفاظ کے ایک سلسلے کو پڑھا جاتا تھا (اور حفظ کیا جاتا تھا) پہلے دو اور آخری دو الفاظ کو جوڑ کر اور پھر اس طرح آگے بڑھ کر: <div style="text-align: center;"> '''word<sub>1</sub>word<sub>2</sub>, word<sub>''N'' − 1</sub>word<sub>''N''</sub>; word<sub>2</sub>word<sub>3</sub>, word<sub>''N'' − 2</sub>word<sub>''N'' − 1</sub>; ..; word<sub>''N'' − 1</sub>word<sub>''N''</sub>, word<sub>1</sub>word<sub>2</sub>;'''</div> پڑھنے کا سب سے پیچیدہ طریقہ، ''{{IAST|ghana-pāṭha}}'' (لفظی معنی "گھنا پڑھنا")، فیلیوزاٹ کے مطابق،<ref name="filliozat-p139"/> اس طرح تھا: <div style="text-align: center;">'''word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4; ... '''</div> کہ یہ طریقے موثر تھے اس کا ثبوت قدیم ترین ہندوستانی مذہبی متن، ''[[رگ وید]]'' (تقریباً 1500 قبل مسیح) کا ایک ہی متن کے طور پر محفوظ ہونا ہے، جس میں کوئی مختلف قراءتیں نہیں ہیں۔<ref name=filliozat-p139/> اسی طرح کے طریقے ریاضیاتی متون کو حفظ کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے تھے، جن کی منتقلی صرف زبانی طور پر [[ویدک دور]] (تقریباً 500 قبل مسیح) کے اختتام تک ہوتی رہی۔
=== سوتر صنف ===
قدیم ہندوستان میں ریاضیاتی سرگرمی کا آغاز مقدس [[وید]]وں پر "طریقہ کار کی عکاسی" کے ایک حصے کے طور پر ہوا، جس نے [[Vedanga|''{{IAST|Vedāṇgas}}'']] یا "ویدوں کے معاون" (ساتویں–چوتھی صدی قبل مسیح) کی شکل اختیار کی۔<ref name=filliozat2004-p140-141>{{Harvard citation|Filliozat|2004|pp=140–141}}</ref> مقدس متن کی آواز کو [[shiksha|''{{IAST|śikṣā}}'']] ([[صوتیات]]) اور ''[[chhandas]]'' ([[Metre (poetry)|عروض]]) کے استعمال سے محفوظ کرنے کی ضرورت؛ اس کے معنی کو [[vyakarana|''{{IAST|vyākaraṇa}}'']] ([[قواعدِ زبان]]) اور ''[[nirukta]]'' ([[اشتقاقیات]]) کے استعمال سے محفوظ کرنے کی ضرورت؛ اور صحیح وقت پر رسومات کو صحیح طریقے سے انجام دینے کے لیے ''[[Kalpa (aeon)|kalpa]]'' ([[ritual]]) اور [[jyotisha|''{{IAST|jyotiṣa}}'']] ([[علم نجوم]]) کے استعمال کی ضرورت نے ''{{IAST|Vedāṇgas}}'' کے چھ شعبوں کو جنم دیا۔<ref name=filliozat2004-p140-141/> ریاضی آخری دو شعبوں، رسومات اور فلکیات (جس میں [[علم نجوم]] بھی شامل تھا) کے ایک حصے کے طور پر ابھری۔
چونکہ ''{{IAST|Vedāṇgas}}'' قدیم ہندوستان میں تحریر کے استعمال سے فوراً پہلے کے تھے، اس لیے وہ صرف زبانی ادب کے آخری نمائندے تھے۔ انھیں انتہائی مختصر یادداشت کی شکل، [[sutra|''sūtra'']] (لفظی معنی، "دھاگہ") میں بیان کیا گیا تھا:

{{اقتباس بند|''سوتر'' کو جاننے والے اسے کم حروف پر مشتمل، ابہام سے پاک، جوہر پر مشتمل، ہر چیز کا سامنا کرنے والا، بغیر وقفے کے اور غیر قابل اعتراض سمجھتے ہیں۔<ref name=filliozat2004-p140-141/>}}

انتہائی اختصار کو متعدد طریقوں سے حاصل کیا گیا، جن میں [[ellipsis|ایلیپسس]] "فطری زبان کی برداشت سے باہر" کا استعمال،<ref name=filliozat2004-p140-141/> طویل وضاحتی ناموں کی بجائے تکنیکی ناموں کا استعمال، فہرستوں کو صرف پہلی اور آخری اندراجات کا ذکر کر کے مختصر کرنا اور مارکرز اور متغیرات کا استعمال شامل تھا۔<ref name=filliozat2004-p140-141/> ''سوتر'' یہ تاثر دیتے ہیں کہ متن کے ذریعے مواصلات "صرف پوری ہدایت کا ایک حصہ تھا۔ ہدایت کا باقی حصہ شاید [[Guru-shishya tradition|''گرو-شیسیہ پرامپرا'']]، 'استاد (''گرو'') سے شاگرد (''شیسیہ'') تک بلا تعطل تسلسل' کے ذریعے منتقل کیا گیا تھا اور یہ عام عوام کے لیے کھلا نہیں تھا" اور شاید خفیہ بھی رکھا گیا تھا۔<ref>{{Harvard citation|Yano|2006|p=146}}</ref> ''سوتر'' میں حاصل کردہ اختصار کی ایک مثال بودھیان ''شلب سوتر'' (700 قبل مسیح) سے درج ذیل ہے۔
[[فائل:Domestic fire altar.jpg|تصغیر|دائیں|300px|''شلب سوتر'' میں گھریلو آگ کے چبوترے کا ڈیزائن]]
[[ویدک دور|ویدک دور میں]] گھریلو آگ کے چبوترے کو رسمی طور پر مربع بنیاد پر ہونا ضروری تھا اور اس میں 21 اینٹوں کی پانچ تہوں سے بنایا جانا تھا۔ چبوترے کی تعمیر کا ایک طریقہ یہ تھا کہ مربع کے ایک طرف کو ایک ڈوری یا رسی کا استعمال کرتے ہوئے تین برابر حصوں میں تقسیم کیا جائے، پھر عرضی (یا عمودی) طرف کو سات برابر حصوں میں تقسیم کیا جائے اور اس طرح مربع کو 21 مطابق مستطیلوں میں تقسیم کیا جائے۔ اینٹوں کو پھر تشکیل دینے والے مستطیل کی شکل میں ڈیزائن کیا گیا تھا اور تہ بنائی گئی تھی۔ اگلی تہ بنانے کے لیے، اسی فارمولے کا استعمال کیا گیا تھا، لیکن اینٹوں کو عرضی طور پر ترتیب دیا گیا تھا۔<ref name=filliozat2004-p143-144>{{Harvard citation|Filliozat|2004|pp=143–144}}</ref> اس عمل کو پھر تین بار دہرایا گیا (متبادل سمتوں کے ساتھ) تاکہ تعمیر مکمل ہو سکے۔ بودھیان ''شلب سوتر'' میں، اس طریقہ کار کو درج ذیل الفاظ میں بیان کیا گیا ہے:

{{اقتباس بند|II.64. چوکور کو سات میں تقسیم کرنے کے بعد، عرضی [ڈوری] کو تین میں تقسیم کریں۔
II.65. ایک اور تہ میں [اینٹوں] کو شمال کی طرف رکھیں۔<ref name=filliozat2004-p143-144/>}}

فیلیوزاٹ کے مطابق،<ref>{{Harvard citation|Filliozat|2004|p=144}}</ref> چبوترے کی تعمیر کرنے والے اہلکار کے پاس صرف چند اوزار اور مواد تھے: ایک ڈوری (سنسکرت، ''rajju''، مونث)، دو کھونٹے (سنسکرت، ''śanku''، مذکر) اور اینٹیں بنانے کے لیے مٹی (سنسکرت، ''{{IAST|iṣṭakā}}''، مونث)۔ ''سوتر'' میں اختصار اس بات کو واضح طور پر ذکر نہ کرکے حاصل کیا گیا ہے کہ صفت "عرضی" کس چیز کو بیان کرتی ہے؛ تاہم، استعمال کی گئی (سنسکرت) صفت کی مونث شکل سے، یہ آسانی سے "ڈوری" کو بیان کرتی ہے۔ اسی طرح، دوسرے بند میں، "اینٹوں" کا واضح طور پر ذکر نہیں کیا گیا ہے، لیکن مونث جمع شکل "شمال کی طرف" سے دوبارہ اخذ کیا گیا ہے۔ آخر میں، پہلے بند میں، یہ واضح طور پر نہیں کہا گیا ہے کہ اینٹوں کی پہلی تہ مشرق-مغرب کی سمت میں ہے، لیکن یہ دوسرے بند میں "شمال کی طرف" کے واضح ذکر سے اخذ کیا گیا ہے؛ کیونکہ، اگر دونوں تہوں میں سمت ایک جیسی ہوتی تو یا تو اس کا ذکر نہیں کیا جاتا یا صرف پہلے بند میں کیا جاتا۔ یہ تمام اخذ کردہ باتیں اہلکار کے ذریعے کی جاتی ہیں جب وہ فارمولے کو اپنی یادداشت سے یاد کرتا ہے۔<ref name=filliozat2004-p143-144/>

== تحریری روایت: نثر تفسیر ==
ریاضی اور دیگر دقیق علوم کی پیچیدگی میں اضافے کے ساتھ، تحریر اور حساب دونوں کی ضرورت تھی۔ نتیجتاً، بہت سے ریاضیاتی کاموں کو مسودوں میں لکھا جانے لگا جو پھر نسل در نسل نقل کیے جاتے تھے۔

{{اقتباس بند|آج ہندوستان میں تقریباً تیس ملین مسودات کا تخمینہ لگایا گیا ہے، جو دنیا میں کہیں بھی ہاتھ سے لکھے گئے مطالعہ کے مواد کا سب سے بڑا ذخیرہ ہے۔ ہندوستانی سائنس کی خواندہ ثقافت کم از کم پانچویں صدی قبل مسیح تک واپس جاتی ہے ... جیسا کہ میسوپوٹامیائی فال ادب اور فلکیات کے عناصر سے ظاہر ہوتا ہے جو اس وقت ہندوستان میں داخل ہوئے اور (انہیں) یقینی طور پر ... زبانی طور پر محفوظ نہیں کیا گیا تھا۔<ref name=pingree1988b>{{Harvard citation|Pingree|1988|p=638}}</ref>}}

سب سے قدیم ریاضیاتی نثر تفسیر ''[[آریہ بھٹیہ|{{IAST|Āryabhaṭīya}}]]'' (499 عیسوی میں لکھا گیا) پر تھی، جو فلکیات اور ریاضی پر ایک کام ہے۔ ''{{IAST|Āryabhaṭīya}}'' کا ریاضیاتی حصہ 33 ''سوتروں'' (شعری شکل میں) پر مشتمل تھا جن میں ریاضیاتی بیانات یا قواعد شامل تھے، لیکن بغیر کسی ثبوت کے۔<ref name=hayashi03-p122-123>{{Harvard citation|Hayashi|2003|pp=122–123}}</ref> تاہم، ہیاشی کے مطابق،<ref>{{Harvard citation|Hayashi|2003|p=123}}</ref> "اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ ان کے مصنفین نے انھیں ثابت نہیں کیا۔ یہ شاید بیان کی طرز کا معاملہ تھا۔" [[بھاسکر اول]] (600 عیسوی کے بعد) کے زمانے سے، نثر تفسیروں میں کچھ اخذ (''upapatti'') شامل ہونے لگے۔ بھاسکر اول کی ''{{IAST|Āryabhaṭīya}}'' پر تفسیر کی درج ذیل ساخت تھی:<ref name=hayashi03-p122-123/>
*'''قاعدہ''' (''سوتر'') [[آریہ بھٹ]] کے شعر میں
*'''تفسیر''' بھاسکر اول کی، جس میں شامل ہیں:
**'''وضاحت''' قاعدہ کی (اخذ اس وقت بھی کم تھے، لیکن بعد میں زیادہ عام ہو گئے)
**'''مثال''' (''uddeśaka'') عام طور پر شعر میں۔
**'''ترتیب''' (''nyāsa/sthāpanā'') عددی ڈیٹا کی۔
**'''حل''' (''karana'') کا کام۔
**'''تصدیق''' (''{{IAST|pratyayakaraṇa}}''، لفظی معنی "یقین دلانا") جواب کی۔ تیرہویں صدی تک یہ کم ہو گئے، اخذ یا ثبوت کو ترجیح دی جانے لگی۔<ref name=hayashi03-p122-123/>

عام طور پر، کسی بھی ریاضیاتی موضوع کے لیے، قدیم ہندوستان میں طلبہ پہلے ''سوتروں'' کو حفظ کرتے تھے، جو، جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، "جان بوجھ کر ناکافی"<ref name=pingree1988b/> تھے وضاحتی تفصیلات میں (تاکہ بنیادی ریاضیاتی قواعد کو مختصراً بیان کیا جا سکے)۔ طلبہ پھر نثر تفسیر کے موضوعات پر چاک بورڈ اور دھول بورڈ (''یعنی'' دھول سے ڈھکے ہوئے بورڈ) پر لکھ کر (اور خاکے بنا کر) کام کرتے تھے۔ بعد کی سرگرمی، جو ریاضیاتی کام کا ایک اہم حصہ تھی، نے ریاضی دان-فلکیات دان، [[برہما گپتا]] ([[floruit|تقریباً]] ساتویں صدی عیسوی)، کو فلکیاتی حسابات کو "دھول کا کام" (سنسکرت: ''dhulikarman'') کے طور پر بیان کرنے پر مجبور کیا۔<ref name="hayashi2003-p119"/>

== اعداد اور اعشاریہ عددی نظام ==
یہ اچھی طرح سے معلوم ہے کہ آج استعمال ہونے والا اعشاریہ مقامی قدر نظام سب سے پہلے ہندوستان میں درج کیا گیا تھا، پھر اسلامی دنیا کو منتقل ہوا اور آخر کار یورپ کو۔<ref name=plofker2007-p395>{{Harvard citation|Plofker|2007|p=395}}</ref> شامی بشپ [[سیویرس سیبوخت]] نے ساتویں صدی عیسوی کے وسط میں ہندوستانیوں کے "نو نشانات" کے بارے میں لکھا جو اعداد کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتے تھے۔<ref name=plofker2007-p395/> تاہم، یہ واضح نہیں ہے کہ پہلا اعشاریہ مقامی قدر نظام کب، کب اور کہاں ایجاد ہوا۔<ref>{{Harvard citation|Plofker|2007|p=395}}; {{Harvard citation|Plofker|2009|pp=47–48}}</ref>

ہندوستان میں استعمال ہونے والا سب سے قدیم [[رسم الخط]] [[Kharoṣṭhī|{{IAST|Kharoṣṭhī}}]] تھا جو شمال مغرب کی [[گندھارا]] ثقافت میں استعمال ہوتا تھا۔ یہ [[آرامی زبان|آرامی]] نژاد سمجھا جاتا ہے اور یہ چوتھی صدی قبل مسیح سے چوتھی صدی عیسوی تک استعمال ہوتا رہا۔ تقریباً اسی وقت، ایک اور رسم الخط، [[براہمی رسم الخط]]، برصغیر کے بیشتر حصوں میں ظاہر ہوا اور بعد میں جنوبی ایشیا اور جنوب مشرقی ایشیا کے بہت سے رسم الخطوں کی بنیاد بن گیا۔ دونوں رسم الخطوں میں عددی علامات اور عددی نظام تھے، جو ابتدائی طور پر مقامی قدر نظام پر مبنی ''نہیں'' تھے۔<ref name=hayashi2005-p366>{{Harvard citation|Hayashi|2005|p=366}}</ref>

ہندوستان اور جنوب مشرقی ایشیا میں اعشاریہ مقامی قدر اعداد کے قدیم ترین شواہد پہلی صدی عیسوی کے وسط سے ملتے ہیں۔<ref name=plofker2009-p45>{{Harvard citation|Plofker|2009|p=45}}</ref> گجرات، ہندوستان سے ایک تانبے کی تختی 595 عیسوی کی تاریخ بیان کرتی ہے، جو اعشاریہ مقامی قدر نمائندگی میں لکھی گئی ہے، اگرچہ تختی کی صحت کے بارے میں کچھ شکوک ہیں۔<ref name=plofker2009-p45/> 683 عیسوی کے سالوں کو درج کرنے والے اعشاریہ اعداد بھی انڈونیشیا اور کمبوڈیا میں پتھر کے کتبوں میں ملے ہیں، جہاں ہندوستانی ثقافتی اثرات نمایاں تھے۔<ref name=plofker2009-p45/>

قدیم متنی ذرائع بھی موجود ہیں، اگرچہ ان متون کے موجودہ مسودے بہت بعد کی تاریخ کے ہیں۔<ref name=plofker2009-p46>{{Harvard citation|Plofker|2009|p=46}}</ref> شاید سب سے قدیم ایسا ذریعہ بدھ فلسفی واسومیترا کا کام ہے جو غالباً پہلی صدی عیسوی کا ہے۔<ref name=plofker2009-p46/> تاجروں کے گنتی کے گڑھوں پر بحث کرتے ہوئے، واسومیترا نے تبصرہ کیا، "جب [ایک ہی] مٹی کا گنتی کا ٹکڑا اکائیوں کی جگہ پر ہوتا ہے، تو اسے ایک کہا جاتا ہے، جب سیکڑوں کی جگہ پر ہوتا ہے، تو ایک سو۔"<ref name=plofker2009-p46/> اگرچہ ایسے حوالے یہ ظاہر کرتے ہیں کہ اس کے قارئین کو اعشاریہ مقامی قدر نمائندگی کا علم تھا، لیکن "ان کے حوالوں کی اختصار اور ان کی تاریخوں کی ابہام، تاہم، اس تصور کی ترقی کی تاریخ کو مضبوطی سے قائم نہیں کرتے۔"<ref name=plofker2009-p46/>

تیسری اعشاریہ نمائندگی ایک شعری ترکیب کی تکنیک میں استعمال ہوتی تھی، جسے بعد میں ''[[بھوت-سنگھیا]]'' (لفظی معنی، "اشیاء کی تعداد") کہا گیا، جو ابتدائی سنسکرت مصنفین نے تکنیکی کتابوں میں استعمال کیا۔<ref name=plofker2009-p47>{{Harvard citation|Plofker|2009|p=47}}</ref> چونکہ بہت سے ابتدائی تکنیکی کام شعری شکل میں لکھے گئے تھے، اعداد کو اکثر قدرتی یا مذہبی دنیا کی اشیاء سے ظاہر کیا جاتا تھا جو ان کے مطابق ہوتی تھیں؛ اس نے ہر عدد کے لیے ایک سے زیادہ مطابقت کی اجازت دی اور شعری ترکیب کو آسان بنایا۔<ref name=plofker2009-p47/> پلوفکر کے مطابق،<ref name="Plofker 2009">{{Harvard citation|Plofker|2009}}</ref> مثال کے طور پر، عدد 4 کو لفظ "[[وید]]" (کیونکہ یہ چار مذہبی متون ہیں)، عدد 32 کو لفظ "دانت" (کیونکہ ایک مکمل سیٹ میں 32 ہوتے ہیں) اور عدد 1 کو "چاند" (کیونکہ صرف ایک چاند ہے) سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔<ref name=plofker2009-p47/> لہذا، وید/دانت/چاند اعشاریہ عدد 1324 کے مطابق ہوگا، کیونکہ اعداد کے ہندسوں کو دائیں سے بائیں شمار کرنے کا رواج تھا۔<ref name=plofker2009-p47/> اشیاء کی تعداد کا استعمال کرنے والا سب سے قدیم حوالہ 269 عیسوی کا ایک سنسکرت متن، [[Yavanajataka|''یوانجاتک'']] (لفظی معنی "یونانی فال بینی") ہے، جو سفوجیدھواج کا ہے، جو ایک ابتدائی (تقریباً 150 عیسوی) ہندوستانی نثر کا ایک شعری ورژن ہے جو ہیلینسٹک [[علم نجوم]] کے ایک گمشدہ کام پر مبنی ہے۔<ref>{{Harvard citation|Pingree|1978|p=494}}</ref> ایسا لگتا ہے کہ تیسری صدی عیسوی کے وسط تک، ہندوستان میں فلکیاتی اور نجومی متون کے قارئین کو اعشاریہ مقامی قدر نظام سے واقفیت تھی۔<ref name=plofker2009-p47/>

یہ قیاس کیا گیا ہے کہ ہندوستانی اعشاریہ مقامی قدر نظام چینی گنتی کے بورڈز پر استعمال ہونے والے علامات پر مبنی تھا جو پہلی صدی قبل مسیح کے وسط سے ہیں۔<ref name=plofker2009-p48>{{Harvard citation|Plofker|2009|p=48}}</ref> پلوفکر کے مطابق،<ref name="Plofker 2009"/> <blockquote>یہ گنتی کے بورڈ، ہندوستانی گنتی کے گڑھوں کی طرح، ... ایک اعشاریہ مقامی قدر ساخت رکھتے تھے ... ہندوستانیوں نے شاید ان اعشاریہ مقامی قدر "رڈ نمبرز" کے بارے میں چینی بدھ مت کے زائرین یا دیگر مسافروں سے سیکھا ہو یا وہ اپنے ابتدائی غیر مقامی قدر نظام سے آزادانہ طور پر اس تصور کو تیار کر سکتے تھے؛ کوئی دستاویزی ثبوت زندہ نہیں ہے جو کسی بھی نتیجے کی تصدیق کر سکے۔"<ref name=plofker2009-p48/></blockquote>

== بخشیلی مسودہ ==
ہندوستان میں موجود قدیم ترین ریاضیاتی مسودہ ''[[بخشیلی مسودہ]]'' ہے، جو ''شاردا'' رسم الخط میں "بدھسٹ ہائبرڈ سنسکرت" میں لکھا گیا ایک برچ کی چھال کا مسودہ ہے، جو آٹھویں سے بارہویں صدی عیسوی کے درمیان ہندوستانی برصغیر کے شمال مغربی علاقے میں استعمال ہوتا تھا۔<ref name=hayashi2005-371>{{Harvard citation|Hayashi|2005|p=371}}</ref> یہ مسودہ 1881 میں ایک کسان کو [[پشاور]] (اس وقت [[برطانوی ہند کے صوبے اور علاقے]] میں اور اب [[پاکستان]] میں) کے قریب [[بخشیلی]] گاؤں میں ایک پتھر کے احاطے میں کھدائی کرتے ہوئے ملا۔ مصنف نامعلوم ہے اور اب یہ [[جامعہ اوکسفرڈ|آکسفورڈ یونیورسٹی]] کے [[کتب خانہ بوڈلین]] میں محفوظ ہے، حالیہ تاریخ کے مطابق اس مسودہ کی تاریخ 224 عیسوی سے 383 عیسوی کے درمیان ہے۔<ref>{{حوالہ ویب|یوآرایل=https://blog.sciencemuseum.org.uk/illuminating-india-starring-oldest-recorded-origins-zero-bakhshali-manuscript/ |عنوان=Illuminating India: Starring the oldest recorded origins of 'zero', the Bakhshali manuscript |تاریخ=14 September 2017 }}</ref>

محفوظ مسودہ کے ستر ورق ہیں، جن میں سے کچھ ٹکڑوں میں ہیں۔ اس کا ریاضیاتی مواد قواعد اور مثالیں پر مشتمل ہے، جو شعری شکل میں لکھے گئے ہیں، نیز نثر تفسیرات، جن میں مثالیں کے حل شامل ہیں۔<ref name=hayashi2005-371/> جن موضوعات پر بحث کی گئی ہے ان میں حساب (کسر، مربع جڑ، نفع اور نقصان، سادہ سود، [[تین کا قاعدہ]] اور ''[[regula falsi]]'') اور الجبرا (ہم وقت خطی مساوات اور [[دو درجی مساوات]]) اور حساباتی ترتیب شامل ہیں۔ اس کے علاوہ، کچھ ہندسی مسائل (بشمول بے قاعدہ ٹھوس کے حجم کے مسائل) بھی شامل ہیں۔ بخشیلی مسودہ "صفر کے لیے نقطہ کے ساتھ اعشاریہ مقامی قدر نظام استعمال کرتا ہے۔"<ref name=hayashi2005-371/> اس کے بہت سے مسائل 'مساوات کے مسائل' کی قسم کے ہیں جو خطی مساوات کے نظام کی طرف لے جاتے ہیں۔ ٹکڑا III-5-3v سے ایک مثال درج ذیل ہے:

{{اقتباس بند|ایک تاجر کے پاس سات ''اسوا'' گھوڑے ہیں، دوسرے کے پاس نو ''ہیا'' گھوڑے ہیں، اور تیسرے کے پاس دس اونٹ ہیں۔ اگر ہر ایک دو جانور دیتا ہے، ایک دوسرے کو، تو وہ اپنے جانوروں کی قدر میں برابر ہیں۔ ہر جانور کی قیمت اور ہر تاجر کے جانوروں کی کل قدر معلوم کریں۔<ref name=anton>Anton, Howard and Chris Rorres. 2005. ''Elementary Linear Algebra with Applications.'' 9th edition. New York: John Wiley and Sons. 864 pages. {{آئی ایس بی این|0-471-66959-8}}.</ref>}}

مثال کے ساتھ نثر تفسیر مسئلہ کو چار متغیرات میں تین (غیر معین) مساوات میں تبدیل کر کے حل کرتی ہے اور فرض کرتی ہے کہ قیمتیں تمام عددی ہیں۔<ref name=anton/>

2017 میں، مسودہ کے تین نمونوں کو [[ریڈیو کاربن ڈیٹنگ]] کے ذریعے تین مختلف صدیوں سے ظاہر کیا گیا: 224 سے 383 عیسوی، 680-779 عیسوی اور 885-993 عیسوی۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ مختلف صدیوں کے ٹکڑے ایک ساتھ کیسے پیک ہوئے۔<ref name="Devlin">{{حوالہ خبر|یوآرایل=https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol|عنوان=Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol|آخری=Devlin|پہلا=Hannah |تاریخ=2017-09-13|کاوش=The Guardian|تاریخ رسائی=2017-09-14|آئی_ایس_ایس_این=0261-3077}}</ref><ref name="Mason">{{حوالہ خبر|یوآرایل=http://www.arch.ox.ac.uk/reader/items/oxford-radiocarbon-accelerator-unit-dates-the-worlds-oldest-recorded-origin-of-the-zero-symbol.html|عنوان=Oxford Radiocarbon Accelerator Unit dates the world's oldest recorded origin of the zero symbol|آخری=Mason|پہلا=Robyn|تاریخ=2017-09-14|کاوش=School of Archaeology, University of Oxford|تاریخ رسائی=2017-09-14|آرکائیو یوآرایل=https://web.archive.org/web/20170914215605/http://www.arch.ox.ac.uk/reader/items/oxford-radiocarbon-accelerator-unit-dates-the-worlds-oldest-recorded-origin-of-the-zero-symbol.html|آرکائیو تاریخ=14 September 2017|یوآرایل کی کیفیت=dead}}</ref><ref name="Bodleian Library">{{حوالہ خبر|یوآرایل=http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14|عنوان=Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'|تاریخ=2017-09-14|کاوش=Bodleian Library|تاریخ رسائی=2017-09-14}}</ref>

== کلاسیکی دور (400–1300) ==
یہ دور اکثر ہندوستانی ریاضی کا سنہری دور کہلاتا ہے۔ اس دور میں ریاضی دانوں جیسے [[آریہ بھٹ]]، [[وراہ مہیر]]، [[برہما گپتا]]، [[بھاسکر اول]]، [[مہاویر (ریاضی دان)|مہاویر]]، [[آچاریہ بھاسکر]]، [[مادھو سنگم گرام]] اور [[نیلاکانتھ سومیا جی]] نے ریاضی کے بہت سے شعبوں کو وسیع اور واضح شکل دی۔ ان کی شراکتیں ایشیا، مشرق وسطیٰ اور آخر کار یورپ تک پھیل گئیں۔ ویدک ریاضی کے برعکس، ان کے کاموں میں فلکیاتی اور ریاضیاتی شراکتیں دونوں شامل تھیں۔ درحقیقت، اس دور کی ریاضی 'فلکیاتی سائنس' (''jyotiḥśāstra'') کا حصہ تھی اور تین ذیلی شعبوں پر مشتمل تھی: ریاضیاتی علوم (''gaṇita'' یا ''tantra'')، فال بینی (''horā'' یا ''jātaka'') اور فال گری (saṃhitā)۔<ref name=hayashi2003-p119>{{Harvard citation|Hayashi|2003|p=119}}</ref> یہ تینہائی تقسیم وراہمہیر کی چھٹی صدی عیسوی کی تالیف—''پنچاسدھانتکا''<ref>{{Harvard citation|Neugebauer|Pingree|1970}}</ref> (لفظی معنی ''پنچ''، "پانچ"، ''سدھانت''، "غور و فکر کا نتیجہ"، تاریخ 575 [[عام زمانہ]])—پانچ ابتدائی کاموں پر مشتمل ہے، [[سوریہ سدھانت]]، [[رومک سدھانت]]، [[پولیسا سدھانت]]، [[وسستھ سدھانت]] اور [[پیتامہا سدھانت]]، جو میسوپوٹامیائی، یونانی، مصری، رومی اور ہندوستانی فلکیات کے ابتدائی کاموں کے مطابق تھے۔ جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، اہم متون سنسکرت شعر میں لکھے گئے تھے اور ان کے بعد نثر تفسیرات آتی تھیں۔<ref name=hayashi2003-p119/>

=== چوتھی سے چھٹی صدی ===
;سوریہ سدھانت

اگرچہ اس کے مصنف کا نام معلوم نہیں ہے، ''[[سوریہ سدھانت]]'' (تقریباً 400 عیسوی) میں جدید [[مثلثیات]] کی جڑیں موجود ہیں۔ {{حوالہ درکار|date=March 2011}} چونکہ اس میں بہت سے غیر ملکی الفاظ شامل ہیں، کچھ مصنفین کا خیال ہے کہ یہ [[بین النہرین|میسوپوٹامیہ]] اور یونان کے اثرات کے تحت لکھا گیا تھا۔<ref name="Origins of Sulva Sutras and Siddhanta">{{Citation|پہلا=Roger|آخری=Cooke|ربط مصنف=Roger Cooke (mathematician)|عنوان=The History of Mathematics: A Brief Course|ناشر=Wiley-Interscience|سال=1997|فصل=The Mathematics of the Hindus|آئی_ایس_بی_این=978-0-471-18082-1|اقتباس=The word ''Siddhanta'' means ''that which is proved or established''. The ''Sulva Sutras'' are of Hindu origin, but the ''Siddhantas'' contain so many words of foreign origin that they undoubtedly have roots in [[بین النہرین]] and Greece.|صفحہ=[https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/197 197]|فصل یوآرایل=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook/page/197}}</ref>{{بہتر ماخذ درکار|date=April 2017}}

اس قدیم متن میں پہلی بار درج ذیل [[مثلثیاتی دالہ]] استعمال ہوئی ہیں:{{حوالہ درکار|date=March 2011}}
*سائن (''[[جیا]]'')۔
*کوسائن (''[[کوجیا]]'')۔
*[[معکوس سائن]] (''اوٹکرام جیا'')۔

بعد کے ہندوستانی ریاضی دانوں جیسے آریہ بھٹ نے اس متن کا حوالہ دیا، جبکہ بعد کے [[عربی زبان|عربی]] اور [[لاطینی زبان|لاطینی]] تراجم یورپ اور مشرق وسطیٰ میں بہت اثرانداز ہوئے۔

;چھیدی کیلنڈر

یہ چھیدی کیلنڈر (594) جدید [[ہندی -عربی نظام عدد]] کا ابتدائی استعمال ہے جو اب عالمی سطح پر استعمال ہوتا ہے۔

;آریہ بھٹ اول

[[آریہ بھٹ]] (476–550) نے ''آریہ بھٹیہ'' لکھا۔ انھوں نے 332 [[شلوک]]وں میں ریاضی کے اہم بنیادی اصولوں کو بیان کیا۔ اس مقالے میں شامل تھے:
*[[دو درجی مساوات]]
*[[مثلثیات]]
*[[پائی]] کی قدر، چار اعشاریہ جگہوں تک درست۔

آریہ بھٹ نے ''آریہ سدھانت'' بھی لکھا، جو اب گمشدہ ہے۔ آریہ بھٹ کی شراکتیں شامل ہیں:

مثلثیات:

(دیکھیں: [[آریہ بھٹ کا سائن جدول]])
*[[مثلثیاتی دالہ]]وں کا تعارف۔
*سائن (''[[جیا]]'') کو جدید رشتے کے طور پر بیان کیا کہ نصف زاویہ اور نصف وتر کے درمیان۔
*کوسائن (''[[کوجیا]]'') کی تعریف۔
*[[ورسائن]] (''[[اوٹکرام جیا]]'') کی تعریف۔
*معکوس سائن (''اوٹکرام جیا'') کی تعریف۔
*ان کی تقریبی عددی قدریں حساب کرنے کے طریقے دیے۔
*0° سے 90° تک 3.75° کے وقفوں پر سائن، کوسائن اور ورسائن کی قدیم ترین جدولیں، چار اعشاریہ جگہوں تک درست۔
*مثلثیاتی فارمولا sin(''n'' + 1)''x'' − sin ''nx'' = sin ''nx'' − sin(''n'' − 1)''x'' − (1/225)sin ''nx''۔
*[[کروی مثلثیات]]۔

حساب:
*[[سادہ جاری کسر]]یں۔

الجبرا:
*ہم وقت دو درجی مساوات کے حل۔
*[[یک درجی مساوات]] کے عددی حل جدید طریقے کے برابر۔
*غیر معین خطی مساوات کا عمومی حل۔

فلکیاتی ریاضی:
*فلکیاتی مستقلات کے لیے درست حسابات، جیسے:
**[[سورج گرہن]]۔
**[[چاند گرہن]]۔
**[[مکعب (الجبرا)|مکعب]] کے مجموعے کا فارمولا، جو [[حسابان|حسابان کے بنیادی نظریہ]] کی ترقی میں ایک اہم قدم تھا۔<ref name=katz>{{Harvard citation|Katz|1995}}</ref>

;وراہمہیر

[[وراہ مہیر]] (505–587) نے ''پنچ سدھانت'' (''پانچ فلکیاتی اصول'') تیار کیا۔ انھوں نے مثلثیات میں اہم شراکتیں کیں، بشمول سائن اور کوسائن کی جدولیں چار اعشاریہ جگہوں تک درست اور درج ذیل فارمولے جو [[سائن]] اور [[کوسائن]] دالہوں سے متعلق ہیں:
*<math>\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1</math>
*<math>\sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math>
*<math>\frac{1-\cos(2x)}{2}=\sin^2(x)</math>

=== ساتویں اور آٹھویں صدی ===
[[فائل:Brahmaguptra 's theorem.svg|تصغیر|دائیں|200px|[[برہما گپتا کا نظریہ]] بیان کرتا ہے کہ ''AF'' = ''FD''۔]]
ساتویں صدی میں، دو الگ الگ شعبے، [[حساب]] (جس میں [[پیمائش]] شامل تھا) اور [[الجبرا]]، ہندوستانی ریاضی میں ابھرنے لگے۔ بعد میں ان دو شعبوں کو ''{{IAST|pāṭī-gaṇita}}'' (لفظی معنی "الگورتھم کی ریاضی") اور ''{{IAST|bīja-gaṇita}}'' (لفظی معنی "بیجوں کی ریاضی"، جہاں "بیج"—پودوں کے بیجوں کی طرح—نامعلوم کو ظاہر کرتے ہیں جو مساوات کے حل پیدا کرنے کی صلاحیت رکھتے ہیں) کہا گیا۔<ref name=hayashi2005-p369>{{Harvard citation|Hayashi|2005|p=369}}</ref> [[برہما گپتا]]، اپنے فلکیاتی کام ''[[برہما سفت سدھانت|{{IAST|Brāhma Sphuṭa Siddhānta}}]]'' (628 عیسوی) میں، ان شعبوں کے لیے دو ابواب (12 اور 18) مختص کیے۔ باب 12، جس میں 66 سنسکرت اشعار ہیں، دو حصوں میں تقسیم تھا: "بنیادی عمل" (بشمول مکعب جڑ، کسر، تناسب اور تبادلہ) اور "عملی ریاضی" (بشمول مرکب، ریاضیاتی سلسلے، ہوائی شکلیں، اینٹوں کو جوڑنا، لکڑی کو کاٹنا اور اناج کو ڈھیر لگانا)۔<ref name=hayashi2003-p121-122>{{Harvard citation|Hayashi|2003|pp=121–122}}</ref> بعد کے حصے میں، انھوں نے ایک [[چکری چوکور]] کے وتروں پر اپنا مشہور نظریہ بیان کیا:<ref name=hayashi2003-p121-122/>

'''برہما گپتا کا نظریہ:''' اگر ایک چکری چوکور کے وتر ایک دوسرے کے [[عمودی]] ہوں، تو وتروں کے تقاطع سے کسی بھی طرف کھینچا گیا عمودی خط ہمیشہ مخالف طرف کو نصف کرتا ہے۔

باب 12 میں ایک چکری چوکور کے رقبے کا فارمولا ([[ہیرون کا فارمولا|ہیرون کے فارمولے]] کا عمومی ورژن) بھی شامل تھا، نیز [[ناطق مثلث]]ات (''یعنی'' ناطق اطراف اور ناطق رقبے والے مثلثات) کی مکمل وضاحت۔

'''برہما گپتا کا فارمولا:''' ایک چکری چوکور کا رقبہ، ''A''، جس کے اطراف کی لمبائی ''a'', ''b''، ''c'', ''d'' ہیں، درج ذیل ہے:

: <math> A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} , </math>

جہاں ''s''، [[نیم محیط]]، درج ذیل ہے: <math> s=\frac{a+b+c+d}{2}.</math>

'''ناطق مثلثات پر برہما گپتا کا نظریہ:''' ایک مثلث جس کے اطراف <math>a, b, c </math> ناطق ہوں اور رقبہ ناطق ہو، درج ذیل شکل میں ہوگا:

:<math>a = \frac{u^2}{v}+v, \ \ b=\frac{u^2}{w}+w, \ \ c=\frac{u^2}{v}+\frac{u^2}{w} - (v+w) </math>
کچھ ناطق اعداد <math>u, v, </math> اور <math> w </math> کے لیے۔<ref>{{Harvard citation|Stillwell|2004|p=77}}</ref>

باب 18 میں 103 سنسکرت اشعار شامل تھے جو صفر اور منفی اعداد کے ساتھ حسابی عمل کے قواعد سے شروع ہوتے ہیں<ref name=hayashi2003-p121-122/> اور اس موضوع پر پہلا نظاماتی علاج سمجھا جاتا ہے۔ قواعد (جن میں <math> a + 0 = \ a</math> اور <math> a \times 0 = 0 </math> شامل تھے) سب درست تھے، ایک استثناء کے ساتھ: <math> \frac{0}{0} = 0 </math>۔<ref name=hayashi2003-p121-122/> باب کے بعد میں، انھوں نے '''[[دو درجی مساوات]]''' کا پہلا واضح (اگرچہ ابھی تک مکمل عمومی نہیں) حل دیا:

:<math>\ ax^2+bx=c</math>

{{اقتباس بند|مطلق عدد کو مربع کے [کوفیشنٹ] کے چار گنا سے ضرب دیں، [درمیانی مدت] کے مربع کو جمع کریں؛ اس کا مربع جڑ، [درمیانی مدت] کو منفی کر کے، مربع کے [کوفیشنٹ] کے دوگنا سے تقسیم کریں۔<ref name=stillwell2004-p87>{{Harvard citation|Stillwell|2004|p=87}}</ref>}}

یہ درج ذیل کے برابر ہے:

:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} </math>

باب 18 میں، برہما گپتا '''[[پیل کی مساوات]]''' کے (عدد) حل تلاش کرنے میں پیش رفت کرنے کے قابل تھے،<ref name=stillwell2004-p72-73>{{Harvard citation|Stillwell|2004|pp=72–73}}</ref>
:<math>\ x^2-Ny^2=1, </math>
جہاں <math>N</math> ایک غیر مربع عدد ہے۔ انھوں نے یہ درج ذیل شناخت دریافت کر کے کیا:<ref name=stillwell2004-p72-73/>

'''برہما گپتا کی شناخت:''' <math> \ (x^2-Ny^2)(x'^2-Ny'^2) = (xx'+Nyy')^2 - N(xy'+x'y)^2 </math>
جو [[ڈائیوفانٹس]] کی ایک ابتدائی شناخت کا عمومی ورژن تھا:<ref name=stillwell2004-p72-73/> برہما گپتا نے اپنی شناخت کو درج ذیل لیما کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا:<ref name=stillwell2004-p72-73/>

'''لیما (برہما گپتا):''' اگر <math>x=x_1,\ \ y=y_1 \ \ </math> مساوات <math> \ \ x^2 - Ny^2 = k_1, </math> کا حل ہو اور،
<math> x=x_2, \ \ y=y_2 \ \ </math> مساوات <math> \ \ x^2 - Ny^2 = k_2, </math> کا حل ہو، تو:
:<math> x=x_1x_2+Ny_1y_2,\ \ y=x_1y_2+x_2y_1 \ \ </math> مساوات <math> \ x^2-Ny^2=k_1k_2</math> کا حل ہوگا۔

انھوں نے پھر اس لیما کو پیل کی مساوات کے لامتناہی (عدد) حل پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا، ایک حل دیے گئے اور درج ذیل نظریہ بیان کیا:

'''نظریہ (برہما گپتا):''' اگر مساوات <math> \ x^2 - Ny^2 =k </math> کا عدد حل <math> \ k=\pm 4, \pm 2, -1 </math> میں سے کسی ایک کے لیے موجود ہو تو پیل کی مساوات:
:<math> \ x^2 -Ny^2 = 1 </math>
کا بھی عدد حل موجود ہوگا۔<ref name=stillwell2004-p74-76>{{Harvard citation|Stillwell|2004|pp=74–76}}</ref>

برہما گپتا نے درحقیقت نظریہ کو ثابت نہیں کیا، بلکہ اپنے طریقے کا استعمال کرتے ہوئے مثالیں حل کیں۔ انھوں نے جو پہلی مثال پیش کی وہ تھی:<ref name=stillwell2004-p72-73/>

'''مثال (برہما گپتا):''' ایسے اعداد <math>\ x,\ y\ </math> تلاش کریں کہ:
:<math>\ x^2 - 92y^2=1 </math>
اپنی تفسیر میں، برہما گپتا نے اضافہ کیا، "ایک سال کے اندر اس مسئلے کو حل کرنے والا شخص ریاضی دان ہے۔"<ref name=stillwell2004-p72-73/> انھوں نے جو حل پیش کیا وہ تھا:
:<math>\ x=1151, \ y=120 </math>

;بھاسکر اول

[[بھاسکر اول]] (تقریباً 600–680) نے آریہ بھٹ کے کام کو اپنی کتابوں ''مہابھاسکاریہ''، ''آریہ بھٹیہ-بھاشیا'' اور ''لگھو-بھاسکاریہ'' میں وسعت دی۔ انھوں نے تیار کیا:
*غیر معین مساوات کے حل۔
*[[سائن دالہ]] کی ناطق تقریب۔
*ایک حادہ زاویہ کے سائن کا حساب جدول کے استعمال کے بغیر، دو اعشاریہ جگہوں تک درست۔

=== نویں سے بارہویں صدی ===
;ویراسین

[[ویراسین]] (8ویں صدی) [[راشٹر کوٹ خاندان|راشٹرکوٹ]] بادشاہ [[اموگھوراش]] کے دور میں [[مانیاکھیٹا]]، کرناٹک میں ایک جین ریاضی دان تھے۔ انھوں نے ''دھوالا'' لکھا، جو جین ریاضی پر ایک تفسیر ہے، جس میں:
*''اردھچھیدا'' کے تصور پر بحث کی گئی ہے، جس میں ایک عدد کو کتنی بار نصف کیا جا سکتا ہے اور اس عمل سے متعلق مختلف قواعد درج ہیں۔ یہ [[ثنائی لوگارتم]] سے مطابقت رکھتا ہے جب [[قوت دو|دو کی قوتوں]] پر لاگو کیا جاتا ہے،<ref>{{Citation|فصل=History of Mathematics in India|عنوان=Students' Britannica India: Select essays|مرتب پہلا1=Dale|مرتب آخری1=Hoiberg|مرتب پہلا2=Indu|مرتب آخری2=Ramchandani|پہلا=R. C.|آخری=Gupta |صفحہ=329|ناشر=Popular Prakashan|سال=2000|فصل یوآرایل=https://books.google.com/books?id=-xzljvnQ1vAC&q=Virasena+logarithm&pg=PA329}}</ref><ref name="Dhavala">{{Citation|پہلا=A. N.|آخری=Singh|مقام=Lucknow University |عنوان=Mathematics of Dhavala|یوآرایل=http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|تاریخ رسائی=31 July 2010|آرکائیو یوآرایل=https://web.archive.org/web/20110511032215/http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm |آرکائیو تاریخ=11 May 2011|یوآرایل کی کیفیت=dead}}</ref> ویراسین نے بھی دیا:
*[[فروسٹم]] کے [[حجم]] کا اخذ ایک قسم کے لامتناہی طریقے سے۔
یہ خیال کیا جاتا ہے کہ ''دھوالا'' میں زیادہ تر ریاضیاتی مواد پچھلے مصنفین، خاص طور پر کنڈکوندا، شمکوندا، تومبولورا، سمنت بھدر اور باپدیو کے کاموں سے منسوب کیا جا سکتا ہے، جو 200 سے 600 عیسوی کے درمیان لکھے گئے تھے۔<ref name="Dhavala"/>

;مہاویر

[[مہاویر (ریاضی دان)|مہاویر اچاریہ]] (تقریباً 800–870) [[کرناٹک]] سے تھے، جو راشٹرکوٹ بادشاہ اموگھوراش کے سرپرست تھے۔ انھوں نے عددی ریاضی پر ایک کتاب ''گنیت سار سنگریہ'' لکھی اور ریاضی کے مختلف موضوعات پر مقالے بھی لکھے۔ ان میں شامل ہیں:
*[[صفر (عدد)|صفر]]
*[[مربع (الجبرا)|مربع]]
*[[مکعب (حساب)|مکعب]]
*[[مربع جڑ]]یں، [[مکعب جڑ]]یں اور ان سے آگے کے [[سلسلہ (ریاضی)|سلسلے]]
*ہوائی [[ہندسہ]]
*[[ٹھوس ہندسہ]]
*[[سایہ|سایوں]] کے ڈالنے سے متعلق مسائل
*[[بیضہ]] اور [[چوکور]] کے رقبے کے لیے اخذ کردہ فارمولے جو [[دائرہ|دائرے]] کے اندر ہوں۔

مہاویر نے بھی:
*منفی عدد کی مربع جڑ کے وجود سے انکار کیا۔
*ایک [[حسابی ترتیب]] کے مربعوں کا مجموعہ دیا اور [[بیضہ]] کے رقبے اور [[محیط]] کے لیے تجرباتی قواعد دیے۔
*[[دو درجی مساوات]] کو حل کیا۔
*[[چوتھی درجی مساوات]] کو حل کیا۔
*کچھ [[پانچویں درجی مساوات]] اور اعلیٰ درجے کے [[کثیرالاسمی]]وں کو حل کیا۔
*اعلیٰ درجے کی [[کثیرالاسمی|کثیرالاسمی مساوات]] کے عمومی حل دیے:
**<math>\ ax^n = q</math>
**<math>a \frac{x^n - 1}{x - 1} = p</math>
*غیر معین دو درجی مساوات کو حل کیا۔
*غیر معین دو درجی مساوات کو حل کیا۔
*غیر معین اعلیٰ درجے کی مساوات کو حل کیا۔

;شریدھر

[[شریدھر]] (تقریباً 870–930)، جو [[بنگال]] میں رہتے تھے، نے ''ناو شتیکا''، ''تری شتیکا'' اور ''پتی گنیت'' نامی کتابیں لکھیں۔ انھوں نے دیا:
*[[کرہ]] کے حجم کا ایک اچھا قاعدہ۔
*[[دو درجی مساوات]] کو حل کرنے کا فارمولا۔

''پتی گنیت'' حساب اور [[پیمائش]] پر ایک کام ہے۔ یہ مختلف عملوں پر بحث کرتا ہے، بشمول:
*بنیادی عمل
*مربع اور مکعب جڑ نکالنا۔
*کسر۔
*صفر کے ساتھ عمل کے آٹھ قواعد۔
*مختلف حسابی اور ہندسی سلسلوں کے [[حاصل جمع (ریاضی)|حاصل جمع]] کے طریقے، جو بعد کے کاموں میں معیاری حوالے بن گئے۔

;منجل

آریہ بھٹ کی مساوات کو دسویں صدی میں منجل (''منجل'') نے وسعت دی، جنھوں نے محسوس کیا کہ اظہار<ref name=Joseph-298-300>Joseph (2000), p. 298–300.</ref>
: <math>\ \sin w' - \sin w</math>

کو تقریباً اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

: <math>\ (w' - w)\cos w</math>

ان کے بعد کے جانشین بھاسکر دوم نے اسے مزید وسعت دی اور اس طرح سائن کا [[مشتق]] دریافت کیا۔<ref name=Joseph-298-300/>

;آریہ بھٹ دوم

[[آریہ بھٹ دوم]] (تقریباً 920–1000) نے شریدھر پر ایک تفسیر لکھی اور ایک فلکیاتی مقالہ ''[[مہا-سدھانت]]''۔ مہا-سدھانت کے 18 ابواب ہیں اور اس میں بحث کی گئی ہے:
*عدد ریاضی (''انک گنیت'')۔
*الجبرا۔
*غیر معین مساوات کے حل (''کٹک'')۔

;شرپتی

[[شرپتی مشرا]] (1019–1066) نے ''سدھانت شیکھر''، 19 ابواب پر مشتمل فلکیات پر ایک اہم کام اور ''گنیت تلک''، شریدھر کے کام پر مبنی ایک نامکمل [[حساب]]ی مقالہ 125 اشعار میں لکھا۔ انھوں نے بنیادی طور پر کام کیا:
*[[تبدل کامل|مکمل تبدل]]۔
*ہم وقت غیر معین خطی مساوات کا عمومی حل۔

وہ ''دھیکوٹیدکرن'' کے بھی مصنف تھے، جو 20 اشعار پر مشتمل ایک کام ہے:
*[[سورج گرہن]]۔
*[[چاند گرہن]]۔

''دھرواماناسا'' 105 اشعار پر مشتمل ایک کام ہے:
*سیاروں کے [[طول بلد|طول البلد]] کا حساب۔
*[[گرہن]]۔
*سیاروں کی [[حرکات]]۔

;نیمی چندر سدھانت چکرورتی

نیمی چندر سدھانت چکرورتی (تقریباً 1100) نے ''گوم-مت سار'' نامی ایک ریاضیاتی مقالہ لکھا۔

;بھاسکر دوم

[[آچاریہ بھاسکر]] (1114–1185) ایک ریاضی دان-فلکیات دان تھے جنھوں نے کئی اہم مقالے لکھے، یعنی ''سدھانت شیرومنی''، ''[[لیلاوتی]]''، ''[[بیجگنیت]]''، ''گولا ادھیہ''، ''گریہ گنیتام'' اور ''کرن کتوہل''۔ ان کی بہت سی شراکتیں بعد میں مشرق وسطیٰ اور یورپ کو منتقل ہوئیں۔ ان کی شراکتیں شامل ہیں:

حساب:
*سود کا حساب۔
*حسابی اور ہندسی ترتیب۔
*ہوائی [[ہندسہ]]۔
*[[ٹھوس ہندسہ]]۔
*[[شاخص]] کا سایہ۔
*[[تولیف]] کے حل۔
*صفر سے تقسیم کو [[لامتناہی]] ثابت کیا۔

الجبرا:
*ایک مثبت عدد کے دو مربع جڑوں کی شناخت۔
*[[اصم|اصم اعداد]]۔
*کئی نامعلوم کے حاصل ضرب کے ساتھ عمل۔
*درج ذیل کے حل:
**دو درجی مساوات۔
**دو درجی مساوات۔
**چوتھی درجی مساوات۔
**ایک سے زیادہ نامعلوم والی مساوات۔
**ایک سے زیادہ نامعلوم والی دو درجی مساوات۔
**[[پیل کی مساوات]] کا عمومی شکل [[چکراول طریقہ|''چکراول'' طریقہ]] کا استعمال کرتے ہوئے۔
**غیر معین دو درجی مساوات کا عمومی حل ''چکراول'' طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے۔
**غیر معین دو درجی مساوات۔
**غیر معین چوتھی درجی مساوات۔
**غیر معین اعلیٰ درجے کی کثیرالاسمی مساوات۔

ہندسہ:
*[[فیثاغورث کا نظریہ|فیثاغورث کے نظریے]] کا ثبوت۔

حسابان:
*تفریق کا ابتدائی تصور۔
*[[تفریقی کوفیشنٹ]] کی دریافت۔
*[[رول کا نظریہ|رول کے نظریے]] کی ابتدائی شکل، [[قضیہ قدر وسطی]] کا ایک خاص صورت (حسابان اور تجزیہ کے سب سے اہم نظریات میں سے ایک)۔
*سائن تفاعل کا تفریق اخذ کیا اگرچہ [[مشتق]] کے تصور کو نہیں سمجھا۔
*[[پائی]] کا حساب، پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست۔
*زمین کے سورج کے گرد چکر کی لمبائی کا حساب نو اعشاریہ جگہوں تک درست۔<ref>{{حوالہ کتاب|آخری=Cooke |پہلا=Roger |یوآرایل=http://archive.org/details/historyofmathema0000cook |عنوان=The history of mathematics : a brief course |تاریخ=1997 |ناشر=New York : Wiley |دیگر=Internet Archive |آئی_ایس_بی_این=978-0-471-18082-1}}</ref>

مثلثیات:
*[[کروی مثلثات]] کی ترقی۔
*مثلثیاتی فارمولے:
**<math>\ \sin(a+b)=\sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)</math>
**<math>\ \sin(a-b)=\sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)</math>

== قرون وسطی اور ابتدائی جدید ریاضی (1300–1800) ==
=== نویہ-نیایا ===
{{اصل مضمون|نویہ-نیایا}}
نویہ-نیایا یا نیو-لاجیکل درشن (مکتب فکر) ہندوستانی فلسفہ کی تیرہویں صدی میں [[گانگیش اپادھیائے]] نے [[متھلا (بھارت)|متھلا]] میں قائم کیا تھا۔<ref>{{حوالہ کتاب|آخری=Vidyabhusana |پہلا=Satis Chandra |یوآرایل=https://books.google.com/books?id=0lG85RD9YZoC |عنوان=A History of Indian Logic: Ancient, Mediaeval and Modern Schools |ناشر=Motilal Banarsidass |سال=1920 |آئی_ایس_بی_این=9788120805651 |مقام=Delhi |صفحات=405–6 |زبان=en}}</ref> یہ کلاسیکی نیایا درشن کی ترقی تھی۔ نویہ-نیایا پر دیگر اثرات [[وچسپتی مشرا]] (900–980 عیسوی) اور [[ادیان]] (دسویں صدی کے آخر) کے کام تھے۔

گانگیش کی کتاب [[تتوچنتامنی]] ("حقیقت کا خیال-جواہر") جزوی طور پر [[شرہرش]] کے ''کھنڈنکھنڈکھادیہ'' کے جواب میں لکھی گئی تھی، جو [[ادویت]] کا دفاع تھا، جس نے نیایا کے نظریات اور زبان پر ایک مکمل تنقید پیش کی تھی۔<ref>{{حوالہ کتاب|آخری1=Satis Chandra Vidyabhusana |یوآرایل=https://archive.org/details/historyindianlog00vidy |عنوان=A History of Indian Logic: Ancient, Mediaeval and Modern Schools |تاریخ=1920 |ناشر=Motilal Banarsidas |آئی_ایس_بی_این=9788120805651 |مقام=Delhi |صفحہ=[https://archive.org/details/historyindianlog00vidy/page/n438 405]}}</ref> نویہ-نیایا نے ایک پیچیدہ زبان اور تصوراتی اسکیم تیار کی جس نے اسے منطق اور علم المعرفت میں مسائل کو اٹھانے، تجزیہ کرنے اور حل کرنے کے قابل بنایا۔ اس میں ہر شے کو نام دینا شامل ہے جس کا تجزیہ کیا جائے، نامزد شے کے لیے ایک ممتاز خصوصیت کی شناخت کرنا اور ''پرمانوں'' کا استعمال کرتے ہوئے تعریف کرنے والی خصوصیت کی مناسبیت کی تصدیق کرنا۔<ref>{{Citation|آخری=Ganeri |پہلا=Jonardon |عنوان=Analytic Philosophy in Early Modern India |تاریخ=2023 |مرتب آخری=Zalta |مرتب پہلا=Edward N. |یوآرایل=https://plato.stanford.edu/archives/win2023/entries/early-modern-india/ |تاریخ رسائی=2024-01-23 |ایڈیشن=Winter 2023 |ناشر=Metaphysics Research Lab, Stanford University |مرتب آخری2=Nodelman |مرتب پہلا2=Uri |دائرۃ المعارف=The Stanford Encyclopedia of Philosophy}}</ref>

=== کیرلا اسکول ===
{{اصل مضمون|کیرلا اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس}}
[[فائل:Kerala school chain of teachers.jpg|تصغیر|[[کیرلا اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس|کیرلا اسکول]] کے اساتذہ کی زنجیر]]
[[فائل:Pages_from_Yuktibhasa .jpg|تصغیر|220x220px|[[یوکتی بھاشا]] کے صفحات تقریباً 1530]]
[[کیرلا اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس|کیرلا اسکول]] کی بنیاد [[مادھو سنگم گرام]] نے کیرلا، [[جنوبی ہند]] میں رکھی تھی اور اس کے اراکین میں شامل تھے: [[پرمیشور]]، [[نیلاکانتھ سومیا جی]]، [[جیشٹھدیو]]، [[اچیوت پشارتی]]، [[میلپاتھور ناراین بھٹھاتیری]] اور اچیوت پنیکر۔ یہ چودہویں سے سولہویں صدی تک پھلا پھولا اور اسکول کی اصل دریافتیں نیلاکانتھ بھٹھاتیری (1559–1632) کے ساتھ ختم ہوئیں۔ فلکیاتی مسائل کو حل کرنے کی کوشش میں، کیرلا اسکول کے فلکیات دانوں نے ''آزادانہ طور پر'' ریاضی کے کئی اہم تصورات تخلیق کیے۔ سب سے اہم نتائج، [[مثلثیاتی دالہ]]وں کے لیے سلسلہ توسیع، [[سنسکرت]] شعر میں نیلاکانتھ کی کتاب ''تنترسنگریہ'' اور اس کام پر ایک تفسیر ''تنترسنگریہ-واخیا'' میں دیے گئے ہیں، جس کے مصنف کا نام معلوم نہیں ہے۔ نظریات کو بغیر ثبوت کے بیان کیا گیا تھا، لیکن ''سائن''، ''کوسائن'' اور معکوس ''ٹینجنٹ'' کے سلسلوں کے ثبوت ایک صدی بعد ''[[یوکتی بھاشا]]'' (تقریباً 1500–1610) میں دیے گئے، جو [[ملیالم زبان|ملیالم]] میں [[جیشٹھدیو]] نے لکھا۔<ref name="roy">{{Harvard citation|Roy|1990}}</ref>

ان کی ان تین اہم [[احصا|حسابان]] سلسلہ توسیعات کی دریافت—جو [[آئزک نیوٹن]] اور [[گوٹفریڈ ویلہم لائبنیز]] کے ذریعے یورپ میں حسابان کی ترقی سے کئی صدیوں پہلے تھی—ایک کامیابی تھی۔ تاہم، کیرلا اسکول نے ''حسابان'' ایجاد نہیں کیا،<ref name=bressoud/> کیونکہ، اگرچہ وہ اہم [[مثلثیاتی دالہ]]وں کے لیے [[ٹیلر سلسلہ|ٹیلر سلسلہ توسیعات]] تیار کرنے کے قابل تھے، لیکن انھوں نے نہ تو [[مشتق]] یا [[تکامل]] کا کوئی نظریہ تیار کیا، نہ [[حسابان کا بنیادی قضیہ|حسابان کے بنیادی نظریے]] کو۔<ref name=katz/> کیرلا اسکول کے حاصل کردہ نتائج میں شامل ہیں:
*لامتناہی [[ہندسی سلسلہ]]: <math> \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4+ \cdots\text{ for }|x|<1 </math><ref name=singh>{{Harvard citation|Singh|1936}}</ref>
*نتیجہ کا ایک نیم-سخت ثبوت (نیچے "استقراء" کے تبصرہ کو دیکھیں): <math>1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1}</math> بڑے ''n'' کے لیے۔<ref name=roy/>
*[[ریاضیاتی استقراء]] کا بدیہی استعمال، تاہم، ''[[ریاضیاتی استقراء|استقرائی مفروضہ]]'' کو ثبوتوں میں تشکیل یا استعمال نہیں کیا گیا تھا۔<ref name=roy/>
*تفریق اور تکامل کے خیالات کا استعمال (جو بعد میں بننے والے تھے) [[ٹیلر کا قضیہ|(ٹیلر-میکلارن) لامتناہی سلسلے]] sin x، cos x اور arctan x کے لیے حاصل کرنے کے لیے۔<ref name=bressoud>{{Harvard citation|Bressoud|2002}}</ref> ''تنترسنگریہ-واخیا'' سلسلے کو شعر میں دیتا ہے، جو ریاضیاتی علامت میں ترجمہ کرنے پر، اس طرح لکھا جا سکتا ہے:<ref name=roy/>
:: <math>r\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,\text{ where }y/x \leq 1. </math>
:: <math>r\sin x = x - x \frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdots </math>
:: <math> r - \cos x = r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots, </math>
: جہاں، ''r'' = 1 کے لیے، سلسلہ ان مثلثیاتی دالہوں کے لیے معیاری قوتی سلسلے میں کم ہو جاتا ہے، مثال کے طور پر:
::<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math>
: اور
::<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math>
*دائرے کے قوس کی تصحیح (لمبائی کا حساب) کا استعمال ان نتائج کے ثبوت کے لیے۔ (لیبنز کا بعد کا طریقہ، مربع، ''یعنی'' دائرے کے قوس کے نیچے ''رقبے'' کا حساب، استعمال ''نہیں'' کیا گیا تھا۔)<ref name=roy/>
*<math>\arctan x</math> کے سلسلہ توسیع کا استعمال [[لیبنز کا فارمولا برائے π]] حاصل کرنے کے لیے:<ref name=roy/>
:: <math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots </math>
*ان کے دلچسپی کے سلسلوں کے محدود مجموعے کے لیے ''غلطی'' کی ناطق تقریب۔ مثال کے طور پر، غلطی، <math>f_i(n+1)</math>، (''n'' طاق اور ''i'' = 1, 2, 3) کے لیے سلسلہ:
:: <math>\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots + (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)</math>
:: <math>\text{where }f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.</math>
*غلطی کی اصطلاح کو ہیرا پھیری کر کے <math>\pi</math> کے لیے تیز رفتار سلسلہ حاصل کرنا:<ref name=roy/>
:: <math>\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots </math>
*بہتر سلسلہ کا استعمال کرتے ہوئے <math>\pi</math> کے لیے ناطق اظہار،<ref name=roy/> 104348/33215، نو اعشاریہ جگہوں تک درست، ''یعنی'' 3.141592653۔
*ان نتائج کا حساب لگانے کے لیے حد کا بدیہی تصور استعمال کرنا۔<ref name=roy/>
*کچھ [[مثلثیاتی دالہ]]وں کا نیم-سخت (اوپر حدوں پر تبصرہ دیکھیں) طریقہ تفریق۔<ref name=katz/> تاہم، انھوں نے ''تفاعل'' کا تصور تشکیل نہیں دیا یا [[نمائی دالہ|نمائی]] یا [[لوگارتمی دالہ]]وں کا علم نہیں تھا۔

کیرلا اسکول کے کاموں کو پہلی بار انگریز [[C.M. Whish]] نے 1835 میں مغربی دنیا کے لیے لکھا۔ ویش کے مطابق، کیرلا کے ریاضی دانوں نے "''فلوکسینز کے مکمل نظام کی بنیاد رکھی''" اور یہ کام "''فلوکسینل شکلوں اور سلسلوں سے بھرے ہوئے تھے جو کسی غیر ملکی ملک کے کام میں نہیں ملتے۔''"<ref name="whish">{{Harvard citation|Whish|1835}}</ref>

تاہم، ویش کے نتائج تقریباً مکمل طور پر نظر انداز کر دیے گئے، ایک صدی سے زیادہ عرصے تک، جب تک کہ کیرلا اسکول کی دریافتیں سی راجگوپال اور ان کے ساتھیوں کے ذریعے دوبارہ تحقیقات نہیں کی گئیں۔ ان کے کام میں ''یوکتی بھاشا'' میں arctan سلسلے کے ثبوتوں پر دو مقالے شامل ہیں،<ref>{{Citation|آخری1= Rajagopal |پہلا1= C. |آخری2= Rangachari |پہلا2= M. S. |سال= 1949 |عنوان= A Neglected Chapter of Hindu Mathematics |جریدہ= [[Scripta Mathematica]] |جلد= 15 |صفحات= 201–209 | postscript = . }}</ref><ref>{{Citation|آخری1= Rajagopal |پہلا1= C. |آخری2= Rangachari |پہلا2= M. S. |سال= 1951 |عنوان= On the Hindu proof of Gregory's series |جریدہ= [[Scripta Mathematica]] |جلد= 17 |صفحات= 65–74 | postscript = . }}</ref> ''یوکتی بھاشا'' کے سائن اور کوسائن سلسلوں کے ثبوت پر ایک تفسیر<ref>{{Citation|آخری1= Rajagopal |پہلا1= C. |آخری2= Venkataraman |پہلا2= A. |سال= 1949 |عنوان= The sine and cosine power series in Hindu mathematics |جریدہ= Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science) |جلد= 15 |صفحات= 1–13 | postscript = . }}</ref> اور دو مقالے جو ''تنترسنگریہ-واخیا'' کے arctan, sin اور cosine سلسلوں کے سنسکرت اشعار فراہم کرتے ہیں (انگریزی ترجمہ اور تفسیر کے ساتھ)۔<ref>{{Citation|آخری1= Rajagopal |پہلا1= C. |آخری2= Rangachari |پہلا2= M. S. |سال= 1977 |عنوان= On an untapped source of medieval Keralese mathematics |ڈی او آئی= 10.1007/BF00348142 |جریدہ= Archive for History of Exact Sciences |جلد= 18 |شمارہ= 2 |صفحات= 89–102 | s2cid = 51861422 | postscript = . }}</ref><ref>{{Citation|آخری1= Rajagopal |پہلا1= C. |آخری2= Rangachari |پہلا2= M. S. |سال= 1986 |عنوان= On Medieval Kerala Mathematics |جریدہ= Archive for History of Exact Sciences |جلد= 35 |شمارہ= 2|صفحات= 91–99 |ڈی او آئی= 10.1007/BF00357622 | s2cid = 121678430 | postscript = . }}</ref>

پرمیشور (تقریباً 1370–1460) نے [[بھاسکر اول]]، [[آریہ بھٹ]] اور بھاسکر دوم کے کاموں پر تفسیریں لکھیں۔ ان کی ''لیلاوتی بھاشیا''، بھاسکر دوم کی ''لیلاوتی'' پر ایک تفسیر، ان کی ایک اہم دریافت پر مشتمل ہے: [[قضیہ قدر وسطی]] کا ایک ورژن۔ [[نیلاکانتھ سومیا جی]] (1444–1544) نے ''تنتر سنگریہ'' (جس نے بعد میں ایک گمنام تفسیر ''تنترسنگریہ-ویاخیا'' اور 1501 میں لکھی گئی ایک اور تفسیر ''یوکتی دیپیکا'' کو جنم دیا) لکھا۔ انھوں نے مادھو کے شراکتوں کو وسعت دی۔

[[چتربھانو]] (تقریباً 1530) سولہویں صدی کے کیرلا سے تعلق رکھنے والے ایک ریاضی دان تھے جنھوں نے دو [[ہم وقت مساوات|ہم وقت]] الجبرائی مساوات کے 21 اقسام کے عددی حل دیے۔ یہ اقسام درج ذیل سات شکلوں کے ممکنہ جوڑے ہیں:
: <math>
\begin{align}
& x + y = a,\ x - y = b,\ xy = c, x^2 + y^2 = d, \[8pt]
& x^2 - y^2 = e,\ x^3 + y^3 = f,\ x^3 - y^3 = g
\end{align}
</math>

ہر صورت کے لیے، چتربھانو نے اپنے قاعدے کی وضاحت اور جواز پیش کیا اور ایک مثال دی۔ ان کی کچھ وضاحتیں الجبرائی ہیں، جبکہ دیگر ہندسی ہیں۔ [[جیشٹھدیو]] (تقریباً 1500–1575) کیرلا اسکول کے ایک اور رکن تھے۔ ان کا اہم کام ''یوکتی-بھاشا'' (ملیالم میں لکھا گیا) تھا۔ جیشٹھدیو نے مادھو اور دیگر کیرلا اسکول کے ریاضی دانوں کے ذریعے پہلے دریافت کیے گئے زیادہ تر ریاضیاتی نظریات اور لامتناہی سلسلوں کے ثبوت پیش کیے۔

=== دیگر ===
[[نارائن پنڈت]] چودہویں صدی کے ایک ریاضی دان تھے جنھوں نے دو اہم ریاضیاتی کام لکھے، ایک حسابی مقالہ، ''گنیت کومدی'' اور ایک الجبرائی مقالہ، ''بیجگنیت وٹمسا''۔ ''گنیت کومدی'' [[تبدل کامل|مکمل تبدل]] کے لیے ایک طریقہ تیار کرنے کے ساتھ [[تالیفیات]] کے میدان میں سب سے انقلابی کاموں میں سے ایک ہے۔
اپنی ''گنیت کومدی'' میں نارائن نے گائے اور بچھڑوں کے ایک ریوڑ پر درج ذیل مسئلہ پیش کیا:
{{اقتباس بند|ایک گائے ہر سال ایک بچھڑا پیدا کرتی ہے۔ اپنے چوتھے سال سے شروع ہو کر، ہر بچھڑا ہر سال کے شروع میں ایک بچھڑا پیدا کرتا ہے۔ 20 سال بعد کل کتنی گائیں اور بچھڑے ہوں گے؟}}
جدید ریاضیاتی زبان میں [[فرق مساوات]] میں ترجمہ کرنے پر:
:{{math|1= N<sub>n</sub> = N<sub>n-1</sub> + N<sub>n-3</sub>}} for {{math|n > 2}},
ابتدائی اقدار کے ساتھ
:{{math|1= N<sub>0</sub> = N<sub>1</sub> = N<sub>2</sub> = 1}}.

پہلے چند اصطلاحات 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... {{OEIS|A000930}} ہیں۔
متوالی اصطلاحات کے درمیان حد تناسب [[سپرگولڈن تناسب]] ہے۔
نارائن کو [[آچاریہ بھاسکر]] کی [[لیلاوتی]] پر ایک تفصیلی تفسیر، [[گنیت کومدی|''گنیت کومدیا'']] (یا ''کرما-پدھتی'') کا مصنف بھی سمجھا جاتا ہے۔<ref>{{Citation|آخری=Divakaran |پہلا=P. P. |عنوان=The Mathematics of India |فصل=From 500 BCE to 500 CE |تاریخ=2018 |سیریز=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |صفحات=143–173 |فصل یوآرایل=http://dx.doi.org/10.1007/978-981-13-1774-3_6 |تاریخ رسائی=2024-06-18 |مقام=Singapore |ناشر=Springer Singapore |ڈی او آئی=10.1007/978-981-13-1774-3_6 |آئی_ایس_بی_این=978-981-13-1773-6}}</ref>

== یورو سینٹرزم کے الزامات ==
یہ تجویز کیا گیا ہے کہ ہندوستانی ریاضی میں شراکتوں کو جدید تاریخ میں مناسب طور پر تسلیم نہیں کیا گیا ہے اور [[ہندوستانی ریاضی دانوں کی فہرست|ہندوستانی ریاضی دانوں]] کی بہت سی دریافتیں اور ایجادات کو فی الحال ثقافتی طور پر ان کے [[مغربی دنیا|مغربی]] ہم منصبوں سے منسوب کیا جاتا ہے، [[یورو سینٹرزم]] کے نتیجے میں۔ جی جی جوزف کے "[[ایتھنو میتھمیٹکس]]" پر تبصرے کے مطابق:

<blockquote>[ان کا کام] کلاسیکی یورو سینٹرک راستے پر اٹھائے گئے کچھ اعتراضات کو مدنظر رکھتا ہے۔ [ہندوستانی اور عربی ریاضی] کے بارے میں آگاہی بہت زیادہ امکان ہے کہ ان کی اہمیت کو یونانی ریاضی کے مقابلے میں مسترد کر دیا جائے۔ دیگر تہذیبوں — خاص طور پر چین اور ہندوستان، کی شراکتیں یا تو یونانی ذرائع سے قرض لینے والے کے طور پر سمجھی جاتی ہیں یا مرکزی ریاضی کی ترقی میں صرف معمولی شراکت کے طور پر۔ ہندوستانی اور چینی ریاضی پر زیادہ حالیہ تحقیق کے نتائج کے لیے کھلے پن کا فقدان افسوسناک ہے۔"<ref>Joseph, G. G., 1997. "Foundations of Eurocentrism in Mathematics". In ''Ethnomathematics: Challenging Eurocentrism in Mathematics Education'' (Eds. Powell, A. B. et al.). SUNY Press. {{آئی ایس بی این|0-7914-3352-8}}. p.67-68.</ref></blockquote>
ریاضی کے مورخ [[فلورین کیجوری]] نے لکھا کہ وہ اور دیگر "شک کرتے ہیں کہ [[ڈائیوفانٹس]] کو الجبرائی علم کی پہلی جھلک ہندوستان سے ملی"۔<ref>{{Citation
|آخری= Cajori
|پہلا= Florian
|ربط مصنف= Florian Cajori
|عنوان= A History of Mathematics P 86
|سال= 1893
|ناشر= Macmillan & Co.
|فصل= The Hindoos
|اقتباس= In algebra, there was probably a mutual giving and receiving [between Greece and India]. We suspect that Diophantus got his first glimpse of algebraic knowledge from India
}}</ref> انھوں نے یہ بھی لکھا کہ "یہ یقینی ہے کہ ہندوستانی ریاضی کے کچھ حصے یونانی نژاد ہیں"۔<ref>Florian Cajori (2010). "''[https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA94 A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching]''". p.94. {{آئی ایس بی این|1-4460-2221-8}}</ref>

حال ہی میں، جیسا کہ اوپر کے حصے میں بحث کی گئی ہے، [[احصا|حسابان]] کے لامتناہی سلسلے [[مثلثیاتی دالہ]]وں کے لیے (گریگوری، ٹیلر اور میکلارن کے ذریعے سترہویں صدی کے آخر میں دوبارہ دریافت کیے گئے) ہندوستان میں، کیرلا اسکول کے ریاضی دانوں کے ذریعے، دو صدیوں پہلے بیان کیے گئے تھے۔ کچھ اسکالرز نے حال ہی میں تجویز کیا ہے کہ ان نتائج کا علم [[کیرلا]] سے تجارتی راستے کے ذریعے یورپ کو تاجروں اور [[یسوعی|یسوعی مشنریوں]] کے ذریعے منتقل ہوا ہو سکتا ہے۔<ref name=almeida/> کیرلا چین اور [[جزیرہ نما عرب|عرب جزیرہ نما]] کے ساتھ مسلسل رابطے میں تھا اور تقریباً 1500 سے، یورپ کے ساتھ۔ یہ حقیقت کہ مواصلاتی راستے موجود تھے اور تاریخ مناسب ہے یقینی طور پر ایسی منتقلی کو ایک امکان بناتی ہے۔ تاہم، منتقلی کا کوئی ثبوت نہیں ملا ہے۔<ref name=almeida>{{Citation|آخری1= Almeida |پہلا1= D. F. |آخری2= John |پہلا2= J. K. |آخری3= Zadorozhnyy |پہلا3= A. |سال= 2001 |عنوان= Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications |جریدہ= Journal of Natural Geometry |جلد= 20 |صفحات= 77–104 | postscript = . }}</ref> [[ڈیوڈ بریسوڈ]] کے مطابق، "کوئی ثبوت نہیں ہے کہ ہندوستانی کام سلسلوں کا علم ہندوستان سے باہر یا یہاں تک کہ کیرلا سے باہر، انیسویں صدی تک جانا جاتا تھا"۔<ref name=bressoud/><ref name=gold>{{Citation|آخری1= Gold |پہلا1= D. |آخری2= Pingree |پہلا2= D. |سال= 1991 |عنوان= A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine |جریدہ= Historia Scientiarum |جلد= 42 |صفحات= 49–65 | postscript = . }}</ref>

عرب اور ہندوستانی اسکالرز دونوں نے سترہویں صدی سے پہلے دریافتیں کیں جو اب حسابان کا حصہ سمجھی جاتی ہیں۔<ref name=katz/> تاہم، انھوں نے (جیسا کہ [[آئزک نیوٹن]] اور [[گوٹفریڈ ویلہم لائبنیز]] نے کیا) "[[مشتق]] اور [[تکامل]] کے دو متحد موضوعات کے تحت بہت سے مختلف خیالات کو جوڑنے، ان کے درمیان تعلق ظاہر کرنے اور حسابان کو ایک عظیم مسئلہ حل کرنے والے آلے میں تبدیل کرنے" کا کام نہیں کیا۔<ref name=katz/> نیوٹن اور لیبنز کی علمی کیریئرز اچھی طرح سے دستاویزی ہیں اور کوئی اشارہ نہیں ہے کہ ان کا کام ان کا اپنا نہیں تھا؛<ref name=katz/> تاہم، یہ یقینی طور پر معلوم نہیں ہے کہ نیوٹن اور لیبنز کے فوری ''پیشرو''، "بشمول، خاص طور پر، فرما اور روبیروال، [شاید] اسلامی اور ہندوستانی ریاضی دانوں کے کچھ خیالات سے واقف ہوں جو ہم ابھی تک نہیں جانتے ہیں۔"<ref name=katz/> یہ تحقیق کا ایک موجودہ علاقہ ہے، خاص طور پر سپین اور [[المغرب العربی|مغرب]] کے مسودات کے مجموعوں میں اور [[CNRS]] سمیت دیگر جگہوں پر جاری ہے۔<ref name=katz/>

== حواشی ==
{{حوالہ جات}}

== حوالہ جات ==
*{{Citation
 |آخری1=Bourbaki
 |پہلا1=Nicolas
 |ربط مصنف=Nicolas Bourbaki
 |سال=1998
 |عنوان=Elements of the History of Mathematics
 |ناشر=Berlin, Heidelberg, and New York: [[Springer-Verlag]], 301 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-3-540-64767-6
 |یوآرایل رسائی=registration
 |یوآرایل=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Boyer
 |پہلا1=C. B.
 |آخری2=Merzback (fwd. by Isaac Asimov)
 |پہلا2=U. C.
 |سال=1991
 |عنوان=History of Mathematics
 |ناشر=New York: John Wiley and Sons, 736 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-471-54397-8
 |یوآرایل=https://archive.org/details/historyofmathema00boye
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Bressoud
 |پہلا=David
 |ربط مصنف=David Bressoud
 |عنوان=Was Calculus Invented in India?
 |جریدہ=The College Mathematics Journal
 |جلد=33
 |شمارہ=1
 |سال=2002
 |صفحات=2–13
 |ڈی او آئی=10.2307/1558972
 |جے_اسٹور=1558972
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Bronkhorst
 |پہلا=Johannes
 |ربط مصنف= Johannes Bronkhorst
 |عنوان=Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer Netherlands
 |جلد=29
 |شمارہ=1–2
 |سال=2001
 |صفحات=43–80
 |ڈی او آئی=10.1023/A:1017506118885
 | s2cid=115779583
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Burnett
 |پہلا=Charles
 |عنوان=The Semantics of Indian Numerals in Arabic, Greek and Latin
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer-Netherlands
 |جلد=34
 |شمارہ=1–2
 |سال=2006
 |صفحات=15–30
 |ڈی او آئی=10.1007/s10781-005-8153-z
 | s2cid=170783929
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Burton
 |پہلا=David M.
 |عنوان=The History of Mathematics: An Introduction
 |ناشر=The McGraw-Hill Companies, Inc.
 |سال=1997
 |صفحات=193–220
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Cooke
 |پہلا1=Roger
 |سال=2005
 |عنوان=The History of Mathematics: A Brief Course
 |ناشر=New York: Wiley-Interscience, 632 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-471-44459-6
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Dani
 |پہلا=S. G.
 |عنوان=On the Pythagorean triples in the Śulvasūtras
 |جریدہ=Current Science
 |جلد=85
 |شمارہ=2
 |تاریخ=25 July 2003
 |صفحات=219–224
 |یوآرایل=http://www.ias.ac.in/currsci/jul252003/219.pdf
 |آرکائیو یوآرایل=https://web.archive.org/web/20030804220258/http://www.ias.ac.in/currsci/jul252003/219.pdf
 |یوآرایل کی کیفیت=dead
 |آرکائیو تاریخ=4 August 2003
 }}. {{مردہ ربط|date=November 2024}}
*{{Citation
 |ڈی او آئی=10.2307/2301384
 |آخری=Datta
 |پہلا=Bibhutibhusan
 |عنوان=Early Literary Evidence of the Use of the Zero in India
 |جریدہ=The American Mathematical Monthly
 |جلد=38
 |شمارہ=10
 |تاریخ=December 1931
 |صفحات=566–572
 |جے_اسٹور=2301384
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Datta
 |پہلا1=Bibhutibhusan
 |آخری2=Singh
 |پہلا2=Avadesh Narayan
 |سال=1962
 |عنوان=History of Hindu Mathematics : A source book
 |ناشر=Bombay: Asia Publishing House
 |عنوان کا ربط=History of Hindu Mathematics: A Source Book
 }}.
*{{Citation
 |آخری=De Young
 |پہلا=Gregg
 |عنوان=Euclidean Geometry in the Mathematical Tradition of Islamic India
 |جریدہ=Historia Mathematica
 |جلد=22
 |شمارہ=2
 |سال=1995
 |صفحات=138–153
 |ڈی او آئی=10.1006/hmat.1995.1014
 | doi-access=free
 }}.
*{{Citation
 |مصنف=Kim Plofker
 |عنوان=mathematics, South Asian
 |دائرۃ المعارف=Encyclopaedia Britannica Online
 |سال=2007
 |صفحات=1–12
 |یوآرایل=https://www.britannica.com/eb/article-9389286
 |تاریخ رسائی=18 May 2007
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Filliozat
 |پہلا1=Pierre-Sylvain
 |سال=2004
 |فصل=Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature
 |فصل یوآرایل=https://doi.org/10.1007%2F1-4020-2321-9_7
 |صفحات=360–375
 |مرتب آخری1=Chemla
 |مرتب پہلا1=Karine |ربط مرتب1= Karine Chemla
 |مرتب آخری2=Cohen
 |مرتب پہلا2=Robert S.
 |مرتب آخری3=Renn
 |مرتب پہلا3=Jürgen
 |مرتبین کی نمائش= 3 |مرتب آخری4=Gavroglu
 |مرتب پہلا4=Kostas
 |عنوان=History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science)
 |ناشر=Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages, pp. 137–157
 |ڈی او آئی=10.1007/1-4020-2321-9_7
 |آئی_ایس_بی_این=978-1-4020-2320-0
 }}.
*{{Citation
 |ڈی او آئی=10.2307/2975209
 |آخری=Fowler
 |پہلا=David
 |ربط مصنف=David Fowler (mathematician)
 |عنوان=Binomial Coefficient Function
 |جریدہ=The American Mathematical Monthly
 |جلد=103
 |شمارہ=1
 |سال=1996
 |صفحات=1–17
 |جے_اسٹور=2975209
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Hayashi
 |پہلا1=Takao
 |سال=1995
 |عنوان=The Bakhshali Manuscript, An ancient Indian mathematical treatise
 |ناشر=Groningen: Egbert Forsten, 596 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-90-6980-087-5
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Hayashi
 |پہلا=Takao
 |عنوان=Aryabhata's Rule and Table of Sine-Differences
 |جریدہ=Historia Mathematica
 |جلد=24
 |شمارہ=4
 |سال=1997
 |صفحات=396–406
 |ڈی او آئی=10.1006/hmat.1997.2160
 | doi-access=free
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Hayashi
 |پہلا1=Takao
 |فصل=Indian Mathematics
 |سال=2003
 |مرتب آخری1=Grattan-Guinness
 |مرتب پہلا1=Ivor
 |عنوان=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences
 |جلد=1 |صفحات=118–130
 |مقام=Baltimore, MD |ناشر=The Johns Hopkins University Press
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-8018-7396-6
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Hayashi
 |پہلا1=Takao
 |سال=2005
 |فصل=Indian Mathematics
 |صفحات=360–375
 |مرتب آخری1=Flood
 |مرتب پہلا1=Gavin
 |عنوان=The Blackwell Companion to Hinduism
 |ناشر=Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375
 |آئی_ایس_بی_این=978-1-4051-3251-0
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Henderson
 |پہلا1=David W.
 |سال=2000
 |فصل=Square roots in the Sulba Sutras
 |فصل یوآرایل=http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html
 |مرتب آخری1=Gorini
 |مرتب پہلا1=Catherine A.
 |عنوان=Geometry at Work: Papers in Applied Geometry
 |صفحات=39–45
 |مقام=Washington DC |ناشر=[[Mathematical Association of America]] Notes
 |جلد=53
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-88385-164-7
 }}.
* {{حوالہ کتاب|آخری1=Ifrah |پہلا1=Georges |ربط مصنف=Georges Ifrah |سال=2000 |عنوان=A Universal History of Numbers: From Prehistory to Computers |مقام=New York |ناشر=Wiley |آئی_ایس_بی_این=0471393401}}
*{{Citation
 |آخری=Joseph
 |پہلا=G. G.
 |سال=2000
 |عنوان=The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics
 |ناشر=Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-691-00659-8
 |یوآرایل=https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Katz
 |پہلا=Victor J.
 |عنوان=Ideas of Calculus in Islam and India
 |جریدہ=Mathematics Magazine
 |جلد=68
 |شمارہ=3
 |سال=1995
 |صفحات=163–174
 |جے_اسٹور=2691411
 |ڈی او آئی=10.2307/2691411
 }}.
*{{Citation
 |سال=2007
 |مرتب آخری1=Katz
 |مرتب پہلا1=Victor J.
 |عنوان=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook
 |مقام=Princeton, NJ |ناشر=Princeton University Press |صفحات=385–514
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-691-11485-9
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Keller
 |پہلا=Agathe
 |عنوان=Making diagrams speak, in Bhāskara I's commentary on the ''Aryabhaṭīya''
 |جریدہ=Historia Mathematica
 |جلد=32
 |شمارہ=3
 |سال=2005
 |صفحات=275–302
 |ڈی او آئی=10.1016/j.hm.2004.09.001
 |یوآرایل=https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00000445/file/Diags.pdf
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Kichenassamy
 |پہلا=Satynad
 |عنوان=Baudhāyana's rule for the quadrature of the circle
 |جریدہ=Historia Mathematica
 |جلد=33
 |شمارہ=2
 |سال=2006
 |صفحات=149–183
 |ڈی او آئی=10.1016/j.hm.2005.05.001
 | doi-access=free
 }}.
*{{Citation
 |مرتب آخری1=Neugebauer
 |مرتب پہلا1=Otto
 |ربط مرتب1=Otto Neugebauer
 |مرتب آخری2=Pingree
 |مرتب پہلا2=David
 |ربط مرتب2=David Pingree
 |سال=1970
 |عنوان=The Pañcasiddhāntikā of Varāhamihira
 |مقام=Copenhagen
 }}. New edition with translation and commentary, (2 Vols.).
*{{Citation
 |آخری=Pingree
 |پہلا=David
 |ربط مصنف=David Pingree
 |عنوان=On the Greek Origin of the Indian Planetary Model Employing a Double Epicycle
 |جریدہ=Journal of Historical Astronomy
 |جلد=2
 |شمارہ=1
 |سال=1971
 |صفحات=80–85
 |ڈی او آئی=10.1177/002182867100200202
 |بب_کوڈ=1971JHA.....2...80P
 | s2cid=118053453
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Pingree
 |پہلا=David
 |ربط مصنف=David Pingree
 |عنوان=The Mesopotamian Origin of Early Indian Mathematical Astronomy
 |جریدہ=Journal of Historical Astronomy
 |جلد=4
 |شمارہ=1
 |سال=1973
 |صفحات=1–12
 |ڈی او آئی=10.1177/002182867300400102
 |بب_کوڈ=1973JHA.....4....1P
 | s2cid=125228353
 }}.
*{{Citation
 |مرتب آخری1=Pingree
 |مرتب پہلا1=David
 |ربط مرتب1=David Pingree
 |سال=1978
 |عنوان=The Yavanajātaka of Sphujidhvaja
 |دیگر=Edited, translated and commented by D. Pingree |مقام=Cambridge, MA |سیریز=[[Harvard Oriental Series]] 48 (2 vols.)
 }}.
*{{Citation
 |ڈی او آئی=10.2307/603154
 |آخری1=Pingree
 |پہلا1=David
 |ربط مصنف=David Pingree
 |عنوان=Reviewed Work(s): The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science by Frits Staal
 |جریدہ=Journal of the American Oriental Society
 |جلد=108
 |شمارہ=4
 |سال=1988
 |صفحات=637–638
 |جے_اسٹور=603154
 }}.
*{{Citation|ڈی او آئی= 10.1086/356288 |آخری= Pingree |پہلا= David |ربط مصنف= David Pingree |عنوان= Hellenophilia versus the History of Science |سال= 1992 |جریدہ= Isis |جلد= 83 |شمارہ= 4 |صفحات= 554–563 |جے_اسٹور= 234257|بب_کوڈ= 1992Isis...83..554P | s2cid = 68570164 }}
*{{Citation
 |ڈی او آئی=10.1162/001152603771338779
 |آخری=Pingree
 |پہلا=David
 |ربط مصنف=David Pingree
 |عنوان=The logic of non-Western science: mathematical discoveries in medieval India
 |جریدہ=Daedalus
 |جلد=132
 |شمارہ=4
 |سال=2003
 |صفحات=45–54
 | s2cid=57559157
 | doi-access=free
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Plofker
 |پہلا=Kim
 |ربط مصنف=Kim Plofker
 |عنوان=An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text
 |جریدہ=Historia Mathematica
 |جلد=23
 |شمارہ=3
 |سال=1996
 |صفحات=246–256
 |ڈی او آئی=10.1006/hmat.1996.0026
 | doi-access=free
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Plofker
 |پہلا=Kim
 |عنوان=The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine
 |جریدہ=Historia Mathematica
 |جلد=28
 |شمارہ=4
 |سال=2001
 |صفحات=283–295
 |ڈی او آئی=10.1006/hmat.2001.2331
 | doi-access=free
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Plofker
 |پہلا1=K.
 |فصل=Mathematics of India
 |صفحات= 385–514
 |سال=2007
 |مرتب آخری1=Katz
 |مرتب پہلا1=Victor J.
 |عنوان=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook
 |مقام=Princeton, NJ |ناشر=Princeton University Press
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-691-11485-9
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Plofker
 |پہلا1=Kim
 |سال=2009
 |عنوان=Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE |عنوان کا ربط= Mathematics in India (book)
 |مقام=Princeton, NJ |ناشر= Princeton University Press
 |آئی_ایس_بی_این= 978-0-691-12067-6
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Price
 |پہلا1=John F.
 |سال=2000
 |فصل=Applied geometry of the Sulba Sutras
 |فصل یوآرایل=http://www.ithaca.edu/osman/crs/sp07/265/cal/lec/week11/SulbaSutras.pdf
 |مرتب آخری1=Gorini
 |مرتب پہلا1=Catherine A.
 |عنوان=Geometry at Work: Papers in Applied Geometry
 |صفحات=46–58
 |مقام=Washington DC
 |ناشر=Mathematical Association of America Notes
 |جلد=53
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-88385-164-7
 |تاریخ رسائی=20 May 2007
 |آرکائیو تاریخ=27 September 2007
 |آرکائیو یوآرایل=https://web.archive.org/web/20070927032626/http://www.ithaca.edu/osman/crs/sp07/265/cal/lec/week11/SulbaSutras.pdf
 |یوآرایل کی کیفیت=dead
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Roy
 |پہلا=Ranjan
 |عنوان=Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha
 |جریدہ=Mathematics Magazine
 |جلد=63
 |شمارہ=5
 |سال=1990
 |صفحات=291–306
 |جے_اسٹور=2690896
 |ڈی او آئی=10.2307/2690896
 }}.
*{{Citation
 |ڈی او آئی=10.1086/368443
 |آخری=Singh
 |پہلا=A. N.
 |عنوان=On the Use of Series in Hindu Mathematics
 |جریدہ=Osiris
 |جلد=1
 |شمارہ=1|سال=1936
 |صفحات=606–628
 |جے_اسٹور=301627
| s2cid=144760421
 }}
*{{Citation
 |آخری1=Staal
 |پہلا1=Frits
 |ربط مصنف=Frits Staal
 |سال=1986
 |عنوان=The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science
 |جریدہ=Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde |سیریز=New Series |جلد=49 |شمارہ=8 |مقام=Amsterdam |ناشر=North Holland Publishing Company
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Staal
 |پہلا=Frits
 |ربط مصنف=Frits Staal
 |عنوان=The Sanskrit of science
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer Netherlands
 |جلد=23
 |شمارہ=1
 |سال=1995
 |صفحات=73–127
 |ڈی او آئی=10.1007/BF01062067
 | s2cid=170755274
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Staal
 |پہلا=Frits
 |ربط مصنف=Frits Staal
 |عنوان=Greek and Vedic Geometry
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |جلد=27
 |شمارہ=1–2
 |سال=1999
 |صفحات=105–127
 |ڈی او آئی=10.1023/A:1004364417713
 | s2cid=170894641
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Staal
 |پہلا=Frits
 |ربط مصنف=Frits Staal
 |عنوان=Squares and oblongs in the Veda
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer Netherlands
 |جلد=29
 |شمارہ=1–2
 |سال=2001
 |صفحات=256–272
 |ڈی او آئی=10.1023/A:1017527129520
 | s2cid=170403804
 }}.
*{{Citation
 |آخری=Staal
 |پہلا=Frits
 |ربط مصنف=Frits Staal
 |عنوان=Artificial Languages Across Sciences and Civilisations
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer Netherlands
 |جلد=34
 |شمارہ=1
 |سال=2006
 |صفحات=89–141
 |ڈی او آئی=10.1007/s10781-005-8189-0
 | s2cid=170968871
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Stillwell
 |پہلا1=John
 |سال=2004
 |ایڈیشن=2
 |عنوان=Mathematics and its History
 |ناشر=Springer, Berlin and New York, 568 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-387-95336-6
 |ڈی او آئی=10.1007/978-1-4684-9281-1
 |سیریز=Undergraduate Texts in Mathematics
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Thibaut
 |پہلا1=George
 |ربط مصنف1=George Thibaut
 |سال=1984 |اصل تاریخ=1875
 |عنوان=Mathematics in the Making in Ancient India: reprints of 'On the Sulvasutras' and 'Baudhyayana Sulva-sutra'
 |ناشر=Calcutta and Delhi: K. P. Bagchi and Company (orig. Journal of the Asiatic Society of Bengal), 133 pages
 }}.
*{{Citation
 |آخری=van der Waerden
 |پہلا=B. L.
 |ربط مصنف=B. L. van der Waerden
 |سال=1983
 |عنوان=Geometry and Algebra in Ancient Civilisations
 |ناشر=Berlin and New York: Springer, 223 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-0-387-12159-8
 |یوآرایل رسائی=registration
 |یوآرایل=https://archive.org/details/geometryalgebrai0000waer
 }}
*{{Citation
 |آخری=van der Waerden
 |پہلا=B. L.
 |ربط مصنف=B. L. van der Waerden
 |عنوان=On the Romaka-Siddhānta
 |جریدہ=Archive for History of Exact Sciences
 |جلد=38
 |شمارہ=1
 |سال=1988
 |صفحات=1–11
 |ڈی او آئی=10.1007/BF00329976
| s2cid=189788738
 }}
*{{Citation
 |آخری=van der Waerden
 |پہلا=B. L.
 |ربط مصنف=B. L. van der Waerden
 |عنوان=Reconstruction of a Greek table of chords
 |جریدہ=Archive for History of Exact Sciences
 |جلد=38
 |شمارہ=1
 |سال=1988
 |صفحات=23–38
 |ڈی او آئی=10.1007/BF00329978
|بب_کوڈ=1988AHES...38...23V
 | s2cid=189793547
 }}
*{{Citation
 |آخری=Van Nooten
 |پہلا=B.
 |عنوان=Binary numbers in Indian antiquity
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer Netherlands
 |جلد=21
 |شمارہ=1
 |سال=1993
 |صفحات=31–50
 |ڈی او آئی=10.1007/BF01092744
| s2cid=171039636
 }}
*{{Citation
 |ڈی او آئی=10.1017/S0950473700001221
 |آخری=Whish
 |پہلا=Charles
 |ربط مصنف=C.M. Whish
 |سال=1835
 |عنوان=On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamála
 |جریدہ=Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland
 |جلد=3
 |صفحات=509–523
 |جے_اسٹور= 25581775
 |شمارہ=3
 |یوآرایل=https://zenodo.org/record/2223599
 }}
*{{Citation
 |آخری=Yano
 |پہلا=Michio
 |عنوان=Oral and Written Transmission of the Exact Sciences in Sanskrit
 |جریدہ=Journal of Indian Philosophy
 |ناشر=Springer Netherlands
 |جلد=34
 |شمارہ=1–2
 |سال=2006
 |صفحات=143–160
 |ڈی او آئی=10.1007/s10781-005-8175-6
 | s2cid=170679879
 }}

== مزید پڑھیے ==
=== سنسکرت زبان میں ماخذی کتب ===
*{{Citation
 |آخری1=Keller
 |پہلا1=Agathe
 |سال=2006
 |عنوان=Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya
 |ناشر=Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-3-7643-7291-0
 }}.
*{{Citation
 |آخری1=Keller
 |پہلا1=Agathe
 |سال=2006
 |عنوان=Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya
 |ناشر=Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages
 |آئی_ایس_بی_این=978-3-7643-7292-7
 }}.
*{{Citation
 |مرتب آخری1=Sarma
 |مرتب پہلا1=K. V.
 |ربط مرتب1=K. V. Sarma
 |سال=1976
 |عنوان={{IAST|Āryabhaṭīya}} of {{IAST|Āryabhaṭa}} with the commentary of Sūryadeva Yajvan
 |ناشر=critically edited with Introduction and Appendices, New Delhi: Indian National Science Academy
 }}.
*{{Citation
 |مرتب آخری1=Sen
 |مرتب پہلا1=S. N.
 |مرتب آخری2=Bag
 |مرتب پہلا2=A. K.
 |سال=1983
 |عنوان=The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava
 |ناشر=with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy
 }}.
*{{Citation
 |مرتب آخری1=Shukla
 |مرتب پہلا1=K. S.
 |سال=1976
 |عنوان={{IAST|Āryabhaṭīya}} of {{IAST|Āryabhaṭa}} with the commentary of Bhāskara I and Someśvara
 |ناشر=critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy
 }}.
*{{Citation
 |مرتب آخری1=Shukla
 |مرتب پہلا1=K. S.
 |سال=1988
 |عنوان={{IAST|Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa}}
 |ناشر=critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with [[K.V. Sarma]], New Delhi: Indian National Science Academy
 }}.

[[زمرہ:بھارت میں سائنس و ٹیکنالوجی]]
[[زمرہ:تاریخ ریاضی]]