چینی تقسیم باقی مسئلہ اثباتی کا مسودہ

==مسئلہ اثباتی ==
دو یکلخت [[مطابقت]] مساوات
<br/>
<math>\ w \equiv a_1 \mod m_1 </math>
<br/>
<math>\ w \equiv a_2 \mod m_2 </math>
<br/>
جہاں <math>\ \gcd(m_1,m_2)=1 </math>۔ اب اگر ہم ''x'' اور ''y'' اس طرح نکالیں کہ <math>\ m_1 x \equiv 1 \mod m_2 </math> اور <math>\ m_2 y \equiv 1 \mod m_1 </math>
<br/>
تو دونوں مطابقت مساوات کی تسکین کرتا ہوا ایک حل یہ ہے
<math>\ w = m_1 x a_2 + m_2 y a_1 </math>
<br/>
یہ حل بہ چکر <math>\ m_1 m_2</math> ہے۔ اس لیے کوئی بھی عدد جو اس حل سے مطابقت رکھے بہ چکر <math>\ m_1 m_2</math>، دونوں مساوات کا یکلخت حل ہے۔ یعنی <math>\ w^\prime \equiv w \mod m_1 m_2 </math> مساوات کے حل ہیں۔
<br/>
قدیم چین میں یہ مسئلہ اثباتی معلوم تھا اس لیے اس کو "چینی" کہتے ہیں۔

=== مثال ===
دو یکلخت [[مطابقت]] مساوات
<br/>
<math>\ w \equiv 11 \mod 15 </math>
<br/>
<math>\ w \equiv -11 \mod 14 </math>
<br/>
دیکھو کہ <math>\ \gcd(14,15)=1 </math> 
<br/>
اب چونکہ <br/>
<math>\ 15 x \equiv 1 \mod 14 \longrightarrow x=1 </math>
<br/>
اور
<br/>
<math>\ 14 y \equiv 1 \mod 15 \longrightarrow y=14 </math>
<br/>
اس لیے مساوات کا حل یہ ہے:
<math>\ w = 15 \times 1 \times -11 + 14 \times 14 \times 11 = 1991 </math>
<br/>
اب چونکہ یہ حل بہ چکر <math> 14 \times 15 = 210 </math> ہے، اس لیے سب سے چھوٹا مثبت حل <math> w=101 </math> ہے۔

=== مثال ===
بابر جمعے جمعے نہاتا ہے۔ اور ہر پانچویں دن منڈی جاتا ہے۔ اس بار وہ ہفتے کے دن منڈی گیا تھا۔ کب ایسا دن آئے گا جب بابر کو جمعے کو منڈی جانا پڑے گا۔ 
<br/>
اس جمعے کو ہم صفر لکھتے ہیں، ہفتے کو ایک اور اس طرح۔ اب جمعے کو نہانے کو ہم ایسے مساوات میں لکھ سکتے ہیں:
<br/>
<math>\ w \equiv 0 \mod 7 </math>
<br/>
ہر پانچویں دن منڈی جانے کو اور اس ہفتے، ہفتے والے دن کو منڈی جانے کو یہ مساوات بتاتی ہے:
<br/>
<math>\ w \equiv 1 \mod 5 </math>
<br/>
اب چونکہ 7 اور 5 باہمی [[اولی عدد|مفرد عدد]] ہیں، اس لیے چینی مسئلہ اثباتی استعمال ہو سکتا ہے۔ 
<br/>
<math>\ 7 x \equiv 1 \mod 5 \longrightarrow x=3 </math>
<br/>
<math>\ 5 y \equiv 1 \mod 7 \longrightarrow y=3 </math>
<br/>
اس لیے ان مساوات کا حل یہ ہے:
<math>\ w = 7 \times 3 \times 1 + 5 \times 3 \times 0 = 21 </math>
<br/>
یعنی بابر کو ہر تیسرے جمعے منڈی جانا اور نہانا اسی دن کرنا ہوں گے۔

== مسلئہ اثباتی کی زیادہ عام صورت ==
یہاں ''n'' [[مطابقت]] مساوات <br/>
<br/>
<math>\begin{matrix}
 w \equiv a_1 \mod m_1 \\
 w \equiv a_2 \mod m_2 \\
\vdots \\
 w \equiv a_n \mod m_n 
\end{matrix}
 </math>
<br/>
جہاں مثبت اعداد <math>\ m_1, m_2, \cdots, m_n</math> میں سے ہر دو اعداد باہمی [[اولی عدد|مفرد]] ہیں (یعنی کسی بھی دو اعداد کا [[عاد اعظم]] ایک (1) ہے) ۔
<br/> چلو <math> M = m_1 m_2 \cdots m_n</math>
<br/> اب اگر <math>x_j</math> نیچے دی مطابقت مساوات کا حل ہے <br/>
<math> \ \frac{M}{m_j} x_j \equiv 1 \mod m_j \,,\, j=1,2,\cdots,n</math>
<br/>
تو تمام ''n'' یکلخت مطابقت مساوات کا ایک حل یوں ہو گا <br/>
<math> \ w= \sum_{j=1}^n a_j \frac{M}{m_j} x_j </math> 
<br/>
یہ حل بہ چکر <math>M</math> ہے۔ اس لیے کوئی بھی عدد جو اس حل سے مطابقت رکھے بہ چکر <math>M</math>، تمام ''n'' مساوات کا یکلخت حل ہے۔ یعنی <math>\ w^\prime \equiv w \mod M </math> مساوات کے حل ہیں۔

{{ریاضی مدد}}

[[زمرہ:نظریۂ عدد]]
[[زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل]]