پہاڑا کا مسودہ

[[فائل:multiplication_table_to_scale.svg|تصغیر|1 سے 10 تک ضرب کی جدول پیمانے پر کھینچی گئی، جس میں اوپری دائیں نصف کے ساتھ بنیادی تجزیہ کا لیبل لگا ہوا ہے۔|link={{filepath:multiplication_table_to_scale.svg}}]]
[[ریاضی]] میں '''پہاڑا'''؛ ریاضی کی ایک ضرب میز (ریاضیاتی جدول) ہے، جسے [[الجبرا|الجبری نظام]] کے لیے [[ضرب (ریاضی)|ضرب]] کی کارروائی کی وضاحت کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔

[[معید اعشاریہ|اعشاریہ]] (دس کی بنیاد کا اعدادی نظام) ضرب کی میز (ریاضیاتی جدول) کو روایتی طور پر پوری دنیا میں ابتدائی ریاضی کے ایک لازمی حصے کے طور پر پڑھایا جاتا تھا، کیونکہ یہ بنیادی دس نمبروں کے ساتھ ریاضی کے عمل کی بنیاد رکھتا ہے۔ بہت سے ماہرین تعلیم کا خیال ہے کہ پہاڑا 9 × 9 تک حفظ کرنا ضروری ہے۔<ref>{{citation|journal=For the Learning of Mathematics|volume=1|issue=1|year=1980|title=The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!|first=John|last=Trivett|pages=21–25|jstor= 40247697}}.</ref>
== تاریخ ==
=== جدید عہد سے قبل زمانہ میں ===
[[فائل:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|تصغیر|دائیں|180px|[[:en:Tsinghua Bamboo Slips|سنگھوا بمبو سلپس]]، چینی [[متحارب ریاستوں کا دور|متحارب ریاستوں کے دور]] کی اعشاریہ ضرب جدول 305 قبل مسیح]]
سب سے قدیم معلوم ضرب کی میزیں تقریباً 4000 سال قبل [[بابلی ریاضی داں|بابلیوں]] نے استعمال کی تھیں۔<ref name=Qiu/> تاہم، انھوں نے 60 کی عددی بنیاد کا استعمال کیا۔<ref name=Qiu>{{cite journal | author = Jane Qiu | title = Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips | journal = Nature News | date = January 7, 2014 | doi = 10.1038/nature.2014.14482 | s2cid = 130132289 | url = http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482}}</ref> 10 کی بنیاد کا استعمال کرنے والی سب سے پرانی معلوم جدولیں [[:en:Tsinghua Bamboo Slips#Decimal multiplication table|بانس کی پٹیوں پر چینی اعشاریہ ضرب کی میز]] ہیں جو تقریباً 305 قبل مسیح چینی [[متحارب ریاستوں کا دور|متحارب ریاستوں کے دور]] کی ہیں۔<ref name=Qiu/>

[[فائل:PSM V26 D467 Table of pythagoras on slats.jpg|تصغیر|دائیں|180px|[[نیپیئر کی ہڈیاں|نیپیئر کی ہڈیوں]] پر "فیثاغورث کی میز"<ref>[[Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467]]</ref> ]]
ضرب جدول کو بعض اوقات قدیم یونانی ریاضی داں [[فیثاغورث]] (570–495 قبل مسیح) کی طرف منسوب کیا جاتا ہے۔ اسے کئی زبانوں میں (مثال کے طور پر فرانسیسی، اطالوی اور روسی)، کبھی کبھی انگریزی میں Table of Pythagoras (فیثاغورث کی میز) بھی کہا جاتا ہے۔<ref>for example in [[iarchive:bub_gb_TBBKAAAAMAAJ/page/n10|<!-- pg=17 quote="table of pythagoras" -Montessori. --> ''An Elementary Treatise on Arithmetic'']] by [[John Farrar (scientist)|John Farrar]]</ref> یونانی-رومی ریاضی داں [[نیکوماخوس]] (60-120 عیسوی)، جو [[:en:Neopythagoreanism|نو فیثاغورسیت/نو فیثاغورثیت]] کے پیروکار ہیں، نے اپنی کتاب '''[[مقدمة في الحساب]]''' میں ایک ضرب کی جدول شامل کی، جب کہ سب سے قدیم زندہ بچ جانے والی یونانی ضرب کی میز اس وقت ایک [[:en:wax tablet|مومی تختی]] پر ہے، جس کی تاریخ پہلی صدی عیسوی بتائی جاتی ہے اور فی الحال [[برٹش میوزیم]] میں رکھی ہوئی ہے۔<ref>David E. Smith (1958), ''History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics''. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), {{isbn|0-486-20429-4}}, pp. 58, 129.</ref>

493 عیسوی میں [[:en:Victorius of Aquitaine|وکٹوریئس آف ایکویٹائن]] نے 98 کالموں پر مشتمل ضرب کی جدول لکھی جس نے ([[رومن اعداد]] میں) 2 سے 50 بار تک ہر نمبر کی پیداوار دی اور قطاریں "ایک ہزار سے شروع ہونے والے اعداد کی فہرست، سینکڑوں سے ایک تک اترتی ہوئی" تھیں۔ سو، پھر دسیوں سے دس، پھر ایک سے ایک اور پھر حصے 1/144 تک نیچے آتے ہیں۔"<ref>David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". ''Classical Philology'', 96/4 (October 2001), p. 383.</ref>

=== عہد حاضر میں ===
ریاضی داں [[:en:John Leslie (physicist)|جان لیزلی]] نے اپنی 1820ء کی کتاب The Philosophy of Arithmetic (فلسفۂ ریاضی) میں<ref>{{cite book |last=Leslie |first=John |year=1820 |title=The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand |publisher=Abernethy & Walker |location=Edinburgh}}</ref> 99 × 99 تک ایک ضرب کی جدول شائع کی، جس کی مدد سے اعداد کو ایک وقت میں ہندسوں کے جوڑے میں ضرب کیا جا سکتا ہے۔ لیزلی نے یہ بھی تجویز کیا کہ نوجوان شاگرد 50 × 50 تک ضرب کی میز کو حفظ کریں۔

ذیل میں دی گئی مثال 16 × 16 تک کا ایک جدول دکھاتی ہے، جو آج کل انگریزی دنیا کے اسکولوں میں عام طور پر استعمال ہونے والا سائز ہے۔

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! ×
!0
! scope="column" | 1  || 2  || 3  || 4  || 5  || 6  || 7  || 8  || 9   || 10  || 11  || 12
!13
!14
!15
!16
|-
!0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|0
|-
! scope="row" | 1
|0
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|13
|14
|15
|16
|-
! scope="row" | 2
|0
| 2 || 4 ||6 || 8 || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || 20 || 22 || 24
|26
|28
|30
|32
|-
! scope="row" | 3
|0
| 3 || 6 || 9 || 12 || 15 || 18 || 21 || 24 || 27 || 30 || 33 || 36
|39
|42
|45
|48
|-
! scope="row" | 4
|0
| 4 || 8 || 12 || 16 || 20 || 24 || 28 || 32 || 36 || 40 || 44 || 48
|52
|56
|60
|64
|-
! scope="row" | 5
|0
| 5 || 10 || 15 || 20 || 25 || 30 || 35 || 40 || 45 || 50 || 55 || 60
|65
|70
|75
|80
|-
! scope="row" | 6
|0
| 6 || 12 || 18 || 24 || 30 || 36 || 42 || 48 || 54 || 60 || 66 || 72
|78
|84
|90
|96
|-
! scope="row" | 7
|0
| 7 || 14 || 21 || 28 || 35 || 42 || 49 || 56 || 63 || 70 || 77 || 84
|91
|98
|105
|112
|-
! scope="row" | 8
|0
| 8 || 16 || 24 || 32 || 40 || 48 || 56 || 64 || 72 || 80 || 88 || 96
|104
|112
|120
|128
|-
! scope="row" | 9
|0
| 9 || 18 || 27 || 36 || 45 || 54 || 63 || 72 || 81 || 90 || 99 || 108
|117
|126
|135
|144
|-
! scope="row" | 10
|0
| 10 || 20 || 30 || 40 || 50 || 60 || 70 || 80 || 90 || 100 || 110 || 120
|130
|140
|150
|160
|-
! scope="row" | 11
|0
| 11 || 22 || 33 || 44 || 55 || 66 || 77 || 88 || 99 || 110 || 121 || 132
|143
|154
|165
|176
|-
! scope="row" | 12
|0
| 12 || 24 || 36 || 48 || 60 || 72 || 84 || 96 || 108 || 120 || 132 || 144
|156
|168
|180
|192
|-
!13
|0
|13
|26
|39
|52
|65
|78
|91
|104
|117
|130
|143
|156
|169
|182
|195
|208
|-
!14
|0
|14
|28
|42
|56
|70
|84
|98
|112
|126
|140
|154
|168
|182
|196
|210
|224
|-
!15
|0
|15
|30
|45
|60
|75
|90
|105
|120
|135
|150
|165
|180
|195
|210
|225
|240
|-
!16
|0
|16
|32
|48
|64
|80
|96
|112
|128
|144
|160
|176
|192
|208
|224
|240
|256
|}

چین میں تاہم چونکہ عدد کی ضرب '' [[:en:Commutative property|استبدالی]] '' ہے، بہت سے اسکول ذیل کے ایک چھوٹی جدول کا استعمال کرتے ہیں۔ کچھ اسکول یہاں تک کہ پہلے کالم کو ہٹا دیتے ہیں کیونکہ 1 [[:en:Identity element|ضرب کا شناختی عنصر]] ہے۔

<div style="margin-left:4em">

{| border cellspacing="0" cellpadding="5" bgcolor="#DDEEFF"
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 1
| align="center" | 1
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 2
| align="center" | 2 || align="center" | 4
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 3
| align="center" | 3 || align="center" | 6
| align="center" | 9
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 4
| align="center" | 4 || align="center" | 8
| align="center" | 12 || align="center" | 16
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 5
| align="center" | 5 || align="center" | 10
| align="center" | 15
| align="center" | 20 || align="center" | 25
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 6
| align="center" | 6 || align="center" | 12
| align="center" | 18
| align="center" | 24 || align="center" | 30
| align="center" | 36
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 7
| align="center" | 7 || align="center" | 14
| align="center" | 21
| align="center" | 28 || align="center" | 35
| align="center" | 42 || align="center" | 49
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" | 
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 8
| align="center" | 8 || align="center" | 16
| align="center" | 24
| align="center" | 32 || align="center" | 40
| align="center" | 48
| align="center" | 56 || align="center" | 64
| align="center" bordercolor="#FFFFFF" bgcolor="#FFFFFF" |
|-----
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 9
| align="center" | 9 || align="center" | 18
| align="center" | 27
| align="center" | 36 || align="center" | 45
| align="center" | 54
| align="center" | 63 || align="center" | 72
| align="center" | 81
|-----
| align="center" bgcolor="#FFFFFF" | ×
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 1 
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 2
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 3 
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 4
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 5 
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 6
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 7 
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 8
| align="center" bgcolor="#DDDDDD" | 9 
|}
</div>

ضرب کی روایتی [[:en:Rote learning|روٹ لرننگ]] ٹیبل میں کالموں کی یادداشت پر مبنی تھی، جیسے کہ
{{div col|colwidth=30em}}
<poem>
   1 × 10 = 10
   2 × 10 = 20
   3 × 10 = 30
   4 × 10 = 40
   5 × 10 = 50
   6 × 10 = 60
   7 × 10 = 70
   8 × 10 = 80
   9 × 10 = 90
</poem>
{{div col end}}

ضرب جدول کو مکمل عدد جملوں کے ساتھ کالموں میں لکھنے کی یہ شکل اب بھی کچھ ممالک میں استعمال ہوتی ہے، جیسے بوسنیا اور ہرزیگووینا، اوپر دیے گئے جدید گرڈز کی بجائے۔{{citation needed}}
== پہاڑاؤں کے نمونے (پیٹرن) ==
ضرب جدول میں ایک نمونہ ہے جو لوگوں کو پ پہاڑے زیادہ آسانی سے حفظ کرنے میں مدد کرسکتا ہے۔ یہ ذیل کے اعداد و شمار کا استعمال کرتا ہے:
<!--
      →                 →
    1 2 3             2   4
 ↑  4 5 6 ↓         ↑       ↓
    7 8 9             6   8
      ←                 ←
      0                 0
   Fig. 1             Fig. 2
-->
{| cellpadding="0" cellspacing="0" style="text-align:center;width:20em;"
| colspan="5" style="font-size:200%;"|→
| rowspan="7" style="padding:1em;"|&nbsp;
| colspan="5" style="font-size:200%;"|→
|-
| rowspan="3" style="font-size:200%;"|↑
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|1
! 2
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|3
| rowspan="3" style="font-size:200%;"|↓
| rowspan="3" style="font-size:200%;"|↑
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|2
! &nbsp;
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|4
| rowspan="3" style="font-size:200%;"|↓
|-
! 4 || 5 || 6
! &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;
|-
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|7
! 8
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|9
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|6
! &nbsp;
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|8
|-
| colspan="5" style="font-size:200%;"|←
| colspan="5" style="font-size:200%;"|←
|-
| &nbsp;
! 0 || &nbsp;
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|5
| &nbsp;
| colspan="2"|&nbsp;
! style="border:1px solid silver;border-radius:1em;"|0
| colspan="2"|&nbsp;
|-
| colspan="5"|شکل 1: طاق
| colspan="5"|شکل 2: جوڑ
|}
[[فائل:Multiplication_mnemonic.svg|تصغیر|250px|ایک '''ٹیلی فون کی پیڈ''' پر 1، 3، 7 اور 9 (اوپری قطار) اور 2، 4، 6 اور 8 (نچلی قطار) پر ختم ہونے والے عدد کے ضرب کے یونٹ ہندسوں کے چکر]]
شکل 1 کا استعمال 1، 3، 7 اور 9 کے ضربوں کے لیے کیا جاتا ہے۔ شکل 2 کو 2، 4، 6 اور 8 کے ضربوں کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ان نمونوں کو 0 سے 10 تک کسی بھی عدد کے ضرب کو یاد کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، سوائے 5 کے۔جیسا کہ آپ اس نمبر سے شروع کریں گے جسے آپ ضرب کر رہے ہیں، جب آپ 0 سے ضرب کرتے ہیں، تو آپ 0 پر رہتے ہیں (0 بیرونی ہے اور اس لیے تیر کا 0 پر کوئی اثر نہیں ہوتا ہے، بصورت دیگر 0 کو ایک دائمی سائیکل بنانے کے لیے ایک لنک کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے)۔ پیٹرن 10 کے ضرب کے ساتھ بھی کام کرتا ہے، 1 سے شروع کرکے اور صرف 0 کا اضافہ کرکے، آپ کو 10 دے کر، پھر صرف پیٹرن میں موجود ہر نمبر کو "دہائیوں" کی عددوں پر لاگو کریں جیسا کہ آپ عام طور پر "اکائیوں" کی اعداد پر کرتے ہیں۔

<!-- [[File:Multiplication_mnemonic_7.svg|thumb|120px|7 کے ضرب کو یاد کرنے کے لیے یادداشت کا استعمال]] -->
مثال کے طور پر، 7 کے تمام ضربوں کو یاد کرنے کے لیے:

# پہلی تصویر میں 7 کو دیکھیں اور تیر کی پیروی کریں۔
# تیر کی سمت میں اگلا نمبر 4 ہے۔ تو 7 کے بعد اگلا نمبر سوچیں جو 4 پر ختم ہوتا ہے، جو 14 ہے۔
# تیر کی سمت میں اگلا نمبر 1 ہے۔ تو 14 کے بعد اگلے نمبر کے بارے میں سوچیں جو 1 پر ختم ہوتا ہے، جو 21 ہے۔
# اس کالم کے اوپر آنے کے بعد، اگلے کالم کے نیچے سے شروع کریں اور اسی سمت سفر کریں۔ نمبر 8 ہے۔ تو 21 کے بعد اگلے نمبر کے بارے میں سوچیں جو 8 پر ختم ہوتا ہے، جو 28 ہے۔
# اسی طرح آگے بڑھیں جب تک کہ آخری نمبر، 3، 63 کے مطابق ہو۔
# اگلا، نیچے 0 استعمال کریں۔ یہ 70 کے مساوی ہے۔
# پھر، 7 کے ساتھ دوبارہ شروع کریں۔ اس بار یہ 77 کے مطابق ہوگا۔
# اس طرح جاری رکھیں۔

=== 6 سے 10 تک ضرب ===
[[فائل:multiplication_by_6_to_10_mnemonic.svg|تصغیر|ایستادہ|9 × 8 اور 7 × 6 کا حساب]]
دو مکمل نمبروں کو ضرب دینے سے، ہر ایک کو 6 سے 10 تک انگلیوں اور انگوٹھے کے استعمال سے حاصل کیا جا سکتا ہے:

# انگلیوں اور انگوٹھوں کو 10 سے 6 تک، پھر 6 سے 10 تک بائیں سے دائیں، جیسا کہ تصویر میں ہے۔
# انگلی یا انگوٹھے کو ہر ایک نمبر کے مطابق اور ان کے درمیان تمام انگلیاں موڑیں۔
# مڑی ہوئی انگلیوں یا انگوٹھوں کی تعداد دہائیوں کا ہندسہ دیتی ہے۔
# مندرجہ بالا میں بائیں اور دائیں طرف غیر مڑی ہوئی انگلیوں یا انگوٹھوں کی پیداوار شامل کی گئی ہے۔

=== 9 سے ضرب ===
{{float right clear none|[[فائل:multiplication_by_9_mnemonic.svg|تصغیر|ایستادہ|9 × 8 کا حساب]]}}
1 سے 10 تک کی پوری تعداد کے ساتھ 9 کو ضرب دینے سے بھی اس طرح حاصل کیا جا سکتا ہے:
;طریقہ 1
# انگلیوں اور انگوٹھوں کو 1 سے 10 تک بائیں سے دائیں نمبر کریں۔
# نمبر کے مطابق انگلی یا انگوٹھے کو موڑیں۔
# موڑ کے بائیں جانب انگلیوں یا انگوٹھے کی تعداد دسیوں کا ہندسہ دیتی ہے {{nowrap|(اگر کوئی نہیں تو ہندسہ صفر ہے)}}۔
# موڑ کے دائیں جانب انگلیوں یا انگوٹھے کی تعداد یونٹس کا ہندسہ دیتی ہے {{nowrap|(اگر کوئی نہیں تو ہندسہ صفر ہے)}}۔
;طریقہ 2
# دہائیوں کا ہندسہ حاصل کرنے کے لیے جس نمبر کو آپ 9 سے ضرب دے رہے ہیں اسے لیں اور 1 کو گھٹائیں۔
# عدد کا ہندسہ وہ نمبر ہو گا جس کی آپ کو دسیوں کے ہندسے اور ایک ہندسے کو نو کے برابر کرنے کی ضرورت ہے؛''جیسے'' <math>9\cdot7=63</math>, <math>7-1=6</math>, <math>9-6=3</math>۔

== [[تجریدی الجبرا]] میں ==
جدولیں [[گروہ (ریاضی)|گروہوں]]، [[میدان]]وں، [[حلقہ (ریاضی)|حلقوں]] اور دیگر [[تجریدی الجبرا|الجبرائی نظام]] پر [[:en:binary operation|بائنری آپریشن]] کی بھی وضاحت کر سکتی ہیں۔ ایسے سیاق و سباق میں انھیں [[:en:Cayley table|کیلی ٹیبل]] کہا جاتا ہے۔ یہاں [[متناہی میدان]] کے لیے اضافے اور ضرب کی میزیں ہیں '''Z<sub>5</sub>''':

ہر فطری نمبر ''n'' کے لیے، انگوٹی '''Z<sub>''n''</sub>''' کے لیے اضافے اور ضرب کی میزیں بھی ہیں۔
{{col-begin|width=auto}}
{{col-break|gap=2em}}
{| class="wikitable" style="text-align: center; width:12em"
|-
! +
!0
!1
!2
!3
!4
|-
!0
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4
|-
!1
| 1 || 2 || 3 || 4 || 0
|-
!2
| 2 || 3 || 4 || 0 || 1
|-
!3
| 3 || 4 || 0 || 1 || 2
|-
!4
| 4 || 0 || 1 || 2 || 3
|}
{{col-break|gap=2em}}
{| class="wikitable" style="text-align: center; width:12em"
|-
! ×
!0
!1
!2
!3
!4
|-
!0
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
!1
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4
|-
!2
| 0 || 2 || 4 || 1 || 3
|-
!3
| 0 || 3 || 1 || 4 || 2
|-
!4
| 0 || 4 || 3 || 2 || 1
|}
{{col-end}}
دیگر مثالوں کے لیے دیکھیں [[گروہ (ریاضی)|گروہ]] اور [[:en:Octonion|اوکٹونین]]۔
== چینی ضرب کا جدول ==
چینی ضرب کا جدول اکیاسی جملوں پر مشتمل ہے جس میں فی جملہ چار یا پانچ چینی حروف ہیں، جو بچوں کے لیے دل سے سیکھنا آسان بناتا ہے۔ جدول کا ایک چھوٹا ورژن صرف پینتالیس جملوں پر مشتمل ہے، جیسا کہ اصطلاحات جیسے "نو آٹھ سے پچھتر پیدا ہوتے ہیں" "آٹھ نو سے پچھتر پیدا ہوتے ہیں" سے مماثلت رکھتے ہیں لہذا انھیں دو بار سیکھنے کی ضرورت نہیں ہے۔ تمام "ایک" جملوں کو ہٹا کر ایک کم از کم ورژن، صرف چھتیس جملوں پر مشتمل ہے، جو چین کے اسکولوں میں سب سے زیادہ استعمال ہوتا ہے۔ یہ اکثر اس ترتیب میں ہوتا ہے: 2x2=4, 2x3=6, ..., 2x8=16, 2x9=18, 3x3, 3x4, ..., 3x9, 4x4, ..., 4x9, 5x5,... 9x9

== متحارب ریاستیں اعشاریہ ضرب بانس کی پٹیاں ==
[[:en:Tsinghua Bamboo Slips|سنگھوا بانس پٹیاں]] (清华简) مجموعہ میں [[متحارب ریاستوں کا دور|متحارب ریاستوں کے دور]] میں 305 قبل مسیح کی 21 بانس پٹیوں کا بنڈل اعشاریہ ضرب کی میز کی دنیا کی قدیم ترین مثال ہے۔<ref>''Nature'' article [http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482 The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table]</ref>
{{wide image|Qinghuajian_Suan_Biao_example.svg|600px|متحارب ریاستوں کی اعشاریہ ضرب جدول کی ایک جدید نمائندگی جو 12 × 34.5 کے حساب کے لیے استعمال ہوتی ہے۔}}
== امریکا میں معیارات پر مبنی ریاضی کی اصلاحات ==
1989 میں، [[نیشنل کونسل آف ٹیچرز آف میتھمیٹکس] (NCTM) نے نئے معیارات تیار کیے جو اس عقیدے پر مبنی تھے کہ تمام طلبہ کو اعلیٰ ترتیب والی سوچ کی مہارتیں سیکھنی چاہئیں، جس نے روایتی طریقوں کی تعلیم پر کم زور دینے کی سفارش کی جو روٹ پر انحصار کرتے تھے۔ حفظ، جیسے ضرب کی میزیں
1989ء میں [[:en:National Council of Teachers of Mathematics|ریاضی کے اساتذہ کی قومی کونسل (NCTM)]] نے نئے معیارات تیار کیے جو اس عقیدے پر مبنی تھے کہ تمام طلبہ کو اعلیٰ ترتیب والی سوچ کی مہارتیں سیکھنی چاہئیں، جس نے روایتی طریقوں کی تعلیم پر کم زور دینے کی سفارش کی جو رٹ کر یاد کرنے کے طریقہ پر انحصار کرتے تھے، جیسے پہاڑے۔ بڑے پیمانے پر اختیار کیے گئے متن جیسے کہ [[:en:Investigations in Numbers, Data, and Space|نمبرز، ڈیٹا، اور خلا میں تحقیقات]] (جس کے پروڈیوسر، ٹیکنیکل ایجوکیشن ریسرچ سینٹرز کے بعد بڑے پیمانے پر [[ٹیکنیکل ایجوکیشن ریسرچ سینٹرز|TERC]] کے نام سے جانا جاتا ہے) نے ابتدائی ایڈیشن میں ضرب جدول جیسی امداد کو چھوڑ دیا۔ NCTM نے اپنے 2006 [[:en:Principles and Standards for School Mathematics#Curriculum Focal Points|اہم نکات]] میں واضح کیا کہ ریاضی کے بنیادی حقائق کو سیکھنا ضروری ہے، حالانکہ اس بات پر کوئی اتفاق رائے نہیں ہے کہ آیا رٹ کر یاد کرنا بہترین طریقہ ہے۔ حالیہ برسوں میں، بچوں کو ضرب کے حقائق سیکھنے میں مدد کے لیے متعدد غیر روایتی طریقے وضع کیے گئے ہیں، بشمول ویڈیو گیم اسٹائل ایپس اور کتابیں جن کا مقصد کردار پر مبنی کہانیوں کے ذریعے ٹائم ٹیبل سکھانا ہے۔
== حوالہ جات ==
{{حوالہ جات}}

[[زمرہ:تعلیم ریاضی]]
[[زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل]]
[[زمرہ:تصوراتی نمونے]]
[[زمرہ:ابتدائی ریاضیات]]
[[زمرہ:حساب]]